3山形大学 2012年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1)}\quad \int_0^1S(x)\,dx=\sum\limits _{k=1}^n(-1)^{k-1}\int_0^1x^{2k-2}\,dx=\sum\limits _{k=1}^n(-1)^{k-1}\left[\frac{x^{2k-1}}{2k-1}\right]_0^1=\sum\limits _{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac1{2k-1}.\\\text{(2)}\quad x=\tan t\ (0\le t\le\pi/4)\ \text{と置くと}\ dx=\sec^2t\,dt,\quad 1+x^2=\sec^2t.\\\int_0^1f(x)\,dx=\int_0^{\pi/4}\frac{\sec^2t}{1+\tan^2t}\,dt=\int_0^{\pi/4}dt=\frac\pi4.\\\text{(3)}\quad S(x)=\sum\limits _{j=0}^{n-1}(-x^2)^j=\frac{1-(-x^2)^n}{1+x^2}=\frac{1-(-1)^nx^{2n}}{1+x^2}.\\=\frac1{1+x^2}-\frac{(-1)^nx^{2n}}{1+x^2}=f(x)-R(x).\\\text{(4)}\quad R(x)\ \text{の符号は一定なので}\quad \left|\int_0^1R(x)\,dx\right|=\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2}\,dx\le\int_0^1x^{2n}\,dx=\frac1{2n+1}.\\\text{(5)}\quad a_n=\sum\limits _{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac1{2k-1}\ \text{とおくと、(1)と(3)より}\ a_n=\int_0^1S(x)\,dx=\frac\pi4-\int_0^1R(x)\,dx.\\\left|a_n-\frac\pi4\right|\le\frac1{2n+1}\longrightarrow0\quad(n\to\infty).\;\text{よって無限級数の和は}\ \frac\pi4.$$