4鹿児島大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1)

$\sqrt{x^{2}+1}>|x|$ なので、$x+\sqrt{x^{2}+1}>0$ である。したがって絶対値を外して微分できる。 $$\displaystyle \begin{aligned} y'&=\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\\ &=\frac{\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x+\sqrt{x^{2}+1}} =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}. \end{aligned}$$ これはすべての実数 $x$ で成り立つ。

(2)

$a>0$ とする。$0<x\leq a$ なら $1+x^{2}>1$ だから、 $$(1+x^{2})^{2}>1+x^{2},\qquad 1+x^{2}>\sqrt{1+x^{2}}.$$ 両辺は正なので逆数をとると、 $$\displaystyle \frac{1}{1+x^{2}}<\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\qquad(0<x\leq a).$$ 被積分関数の差は $0\le x\le a$ で連続し、$0<x\le a$ で正である。したがってその積分も正となり、 $$\displaystyle \int_{0}^{a}\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}-\frac{1}{1+x^{2}}\right)dx>0.$$ これを移項して、 $$\displaystyle \int_{0}^{a}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx<\int_{0}^{a}\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx$$ を得る。

(3)

(2) で $a=1$ とする。左辺の積分は $x=\tan t$（$0\leq t\leq\pi/4$）と置換して、 $$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx =\int_{0}^{\pi/4}\frac{1+\tan^{2}t}{1+\tan^{2}t}\,dt =\frac{\pi}{4}.$$ また (1) より、 $$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx =\left[\log\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right]_{0}^{1} =\log(1+\sqrt{2}).$$ (2) の厳密不等号にこの二つの値を代入すると、 $$\displaystyle \frac{\pi}{4}<\log(1+\sqrt{2})$$ を得る。