5鹿児島大学 2022年 数学 第5問解答・解説

曲線の媒介変数表示は $x=\cos^3 t$、$y=3\sin^3 t$、$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$ である。

(1) $x^{\prime}=-3\cos^2 t\sin t$、$y^{\prime}=9\sin^2 t\cos t$。区間内では $x^{\prime}\ne0$ なので、接線の傾きは $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=-3\tan t$。点 $P(\cos^3 t,3\sin^3 t)$ を通るから $y-3\sin^3 t=-3\tan t(x-\cos^3 t)$。$\tan t\cos^3 t=\sin t\cos^2 t$ と $\sin^2 t+\cos^2 t=1$ を使って整理すれば、$y=-3(\tan t)x+3\sin t$ となる。

(2) 接する円の半径は原点から接線までの距離である。接線を $3(\tan t)x+y-3\sin t=0$ と書くと、点と直線の距離の公式より $\displaystyle r=\frac{3\sin t}{\sqrt{9\tan^2 t+1}}$。$\alpha=\cos^2 t$ とすると $0<\alpha<1$、$\sin^2 t=1-\alpha$、$\displaystyle \tan^2 t=\frac{1-\alpha}{\alpha}$。これを代入して $\displaystyle r^2=\frac{9\alpha(1-\alpha)}{9-8\alpha}=\frac{9\alpha(\alpha-1)}{8\alpha-9}$。区間内では分母は0にならない。

(3) rは正なので $r^2=R(\alpha)$ の最大化でよい。$\displaystyle R(\alpha)=\frac{9\alpha(1-\alpha)}{9-8\alpha}$ とおくと $\displaystyle R^{\prime}(\alpha)=\frac{9(4\alpha-3)(2\alpha-3)}{(9-8\alpha)^2}$。$0<\alpha<1$ で分母は正、$2\alpha-3<0$ だから、R′は$\displaystyle 0<\alpha<\frac34$で正、$\displaystyle \frac34<\alpha<1$で負となる。従って最大は$\displaystyle \alpha=\frac34$で、$\displaystyle R(\frac34)=\frac9{16}$、$\displaystyle r=\frac34$。$\alpha=\cos^2 t$かつ$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$より $\displaystyle \cos t=\frac{\sqrt3}{2}$、従って $\displaystyle t=\frac\pi6$。