I慶應義塾大学 2023年 数学 第I問解答・解説

(1) $BD:DC=4:3$ であるから、$BD=4t$, $DC=3t$ とおく。$\angle ADB=\theta$ とすれば、余弦定理より $$AB^2=AD^2+16t^2-8AD\,t\cos\theta, \qquad AC^2=AD^2+9t^2+6AD\,t\cos\theta.$$ したがって交差項が消え、 $$\displaystyle \frac37 AB^2+\frac47 AC^2 =AD^2+\left(\frac{48}{7}+\frac{36}{7}\right)t^2 =AD^2+12t^2 =AD^2+\frac34 BD^2.$$ よって $\displaystyle (\text{あ})=\frac37$, $\displaystyle (\text{い})=\frac47$, $\displaystyle (\text{う})=\frac34$ である。

(2) 判別式は $$\Delta=4^2-4\cdot4\cdot(-\sqrt3 i)=16(1+\sqrt3 i).$$ $w=u+vi$（$u,v>0$）を $1+\sqrt3 i$ の平方根とすると、$u^2-v^2=1$, $2uv=\sqrt3$ であり、両式から $u^2+v^2=2$ を得る。よって $\displaystyle u=\frac{\sqrt6}{2}$, $\displaystyle v=\frac{\sqrt2}{2}$ で、$\displaystyle w=\frac{\sqrt6+\sqrt2 i}{2}$ である。二次方程式の解は $$\displaystyle \alpha,\beta=-\frac12\pm\frac{w}{2} =-\frac12\pm\left(\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4}i\right).$$ したがって中点は $\displaystyle (-\frac12,0)$、2点間の差は $w$ であるから $$PQ=|w|=\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt2.$$ また、$PQ$ の傾きは $\displaystyle \frac{\sqrt2/2}{\sqrt6/2}=\frac1{\sqrt3}$ である。垂直二等分線はこれに垂直なので傾きは $-\sqrt3$ となる。

(3) $f(x)=x\log(x^2+1)$ とおくと、積の微分と合成関数の微分により $$\displaystyle f'(x)=\log(x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1},\qquad f(1)=\log2,\qquad f'(1)=\log2+1.$$ よって接線は $$y-\log2=(\log2+1)(x-1),\qquad y=(\log2+1)x-1.$$ さらに $$\displaystyle f''(x)=\frac{2x}{x^2+1}+\frac{4x}{(x^2+1)^2}>0\quad(x>0)$$ だから、$x=1$ における接線は $0\le x\le1$ で曲線の下側にある。この部分の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^1\left[x\log(x^2+1)-\{(\log2+1)x-1\}\right]dx,\\ \int_0^1x\log(x^2+1)\,dx &=\left[\frac{(x^2+1)\log(x^2+1)-(x^2+1)}2\right]_0^1 =\log2-\frac12,\\ \int_0^1\{(\log2+1)x-1\}\,dx&=\frac{\log2-1}{2}. \end{aligned}$$ したがって $\displaystyle S=\frac12\log2$ である。