1東邦大学 2002年 数学 第1問解答・解説

(1) 共有点の $x$ 座標を $x$ とすると、$x^2+a=3x-2$ より $$\displaystyle a=-x^2+3x-2=-\left(x-\frac32\right)^2+\frac14.$$ したがって共有点をもつために選べる $a$ の最大値は $\displaystyle \frac14$ である。

(2) 条件を満たす整数は、$12$ で割った余りが $11$ である。実際、$2$ を法 $3$ で見る余りと $3$ を法 $4$ で見る余りを同時に満たす余りは $11$ のみである。範囲内では $$203,215,227,239,251,263,275,287,299$$ となるので、個数は $9$ 個である。

(3) $A,B$ は三角形の内角で、正接が正だからともに鋭角である。加法定理より $$\displaystyle \tan(A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=\frac{2+3}{1-2\cdot3}=-1.$$ $0<A+B<\pi$ なので、正接が負であることから $\displaystyle \frac{\pi}{2}<A+B<\pi$。よって $C=\pi-(A+B)$ は鋭角で $\tan C=1$ となり、$\displaystyle \sin C=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$ である。

(4) $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ とおくと、剰余定理により $x-1$ で割った余りは $f(1)=1+a+b+c$、$x+1$ で割った余りは $f(-1)=-1+a-b+c$ である。これらが等しいので $$1+a+b+c=-1+a-b+c,$$ したがって $b=-1$ である。

(5) 漸化式を順に足すと $$\displaystyle a_{100}=1+\sum\limits _{k=2}^{100}k=\sum\limits _{k=1}^{100}k=\frac{100\cdot101}{2}=5050.$$

(6) 2個の複素数の積の虚部は $$2a(a-1)-(a+1)(a-9)=a^2+6a+9=(a+3)^2.$$ 積が実数であるためにはこの虚部が $0$ であるから、$(a+3)^2=0$、よって $a=-3$ である。このとき実部は $3a^2-8a+9=60$ で、確かに実数となる。

(7) $x\ne0$ のとき分子・分母をそれぞれ有理化すると $$\displaystyle \frac{\sqrt{1-x}-1}{2-\sqrt{4-x}} =\frac{-x}{\sqrt{1-x}+1}\cdot\frac{2+\sqrt{4-x}}{x} =-\frac{2+\sqrt{4-x}}{\sqrt{1-x}+1}.$$ よって極限値は $\displaystyle -\frac{2+2}{1+1}=-2$ である。

(8) 積の微分法と合成関数の微分法より $$\displaystyle f'(x)=2\log(2x+1)+(2x+3)\frac{2}{2x+1}.$$ したがって $f'(0)=2\log1+3\cdot2=6$ である（ここで $\log$ は自然対数）。

(9) まず $$\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\1-x\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\1+x\end{pmatrix}$$ だから、左辺は $x+(1-x)(1+x)=1+x-x^2$ である。したがって $x^2-x-1=0$。2解は $\displaystyle \frac{1\pm\sqrt5}{2}$ で、そのうち正の実数は $$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt5}{2}$$ である。

(10) $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ とおくと、$r\cos(\theta-\alpha)=x\cos\alpha+y\sin\alpha$ である。よって2直線は $$x+y=2,\qquad -x+\sqrt3\,y=2\sqrt3$$ と表せる。連立して $x=0$, $y=2$ を得るから、交点と原点との距離は $2$ である。

以上より、各空欄の値は順に $\displaystyle \frac14,\ 9,\ \frac{\sqrt2}{2},\ -1,\ 5050,\ -3,\ -2,\ 6,\ \frac{1+\sqrt5}{2},\ 2$ である。