東邦大学 2002年数学第3問解答・解説

三角関数微分法積分法

このページには広告が含まれます。

1問題

東邦大学2002年度第3問

$\displaystyle f(x)=\int_0^x t(\cos t-\sin t)\,dt$ とおくとき，以下の問に答えよ。

(1) $t$ についての積分を計算することにより， $f(x)$ を $x$ の式で表せ。

(2) $-\pi\leq x\leq\pi$ の範囲で， $f(x)$ の増減，極値を調べて $y=f(x)$ のグラフを描け。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

fₓ
x(sin x+cos x)+cos x-sin x-1
増加する範囲
[-pi,-3pi/4], [0,pi/4]
減少する範囲
[-3pi/4,0], [pi/4,pi]
最大値
$\displaystyle \frac{3\pi\sqrt2}{4}-1$
最小値
-pi-2

3解答

解答を見る途中式つきの解答

積分を2項に分けて部分積分すると $f(x)=x(\sin x+\cos x)+\cos x-\sin x-1$ を得ます。導関数は $f'(x)=x(\cos x-\sin x)$ で、臨界点は $-3\pi/4,0,\pi/4$ です。符号は順に $+,-,+,-$ となるので、区間の左端から増加、減少、増加、減少します。

グラフ用の値は $f(-\pi)=\pi-2,\quad f(-3\pi/4)=3\pi\sqrt2/4-1,\quad f(0)=0,\quad f(\pi/4)=\pi\sqrt2/4-1,\quad f(\pi)=-\pi-2.$ これらを増減に沿って結びます。極大は $-3\pi/4,\pi/4$ 、極小は0です。

![実図: −π≦x≦πの範囲におけるfのグラフ](graph.svg)

この問題で使う考え方

部分積分
導関数の符号調査
臨界点と端点での値の計算

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。