2京都大学 2003年 数学 第2問解答・解説

$f(x)=x\sin x$ より $f'(x)=\sin x+x\cos x$ で、$f'(\pi/2)=1$。したがって $(\pi/2,\pi/2)$ における法線は $$\displaystyle y-\frac\pi2=-\left(x-\frac\pi2\right),\qquad y=\pi-x.$$ $0\le x\le\pi/2$ では $0\le x\sin x\le x\le\pi-x$。よって回転断面は外半径 $\pi-x$、内半径 $x\sin x$ の円環であり、体積は $$\displaystyle V=\pi\int_0^{\pi/2}\left\{(\pi-x)^2-x^2\sin^2x\right\}\,dx.$$ まず $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}(\pi-x)^2\,dx=\frac{7\pi^3}{24}.$$ また $\sin^2x=(1-\cos2x)/2$ であり、部分積分から $$\displaystyle \int x^2\cos2x\,dx=\frac{x^2\sin2x}{2}+\frac{x\cos2x}{2}-\frac{\sin2x}{4}.$$ したがって $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}x^2\sin^2x\,dx=\frac{\pi^3}{48}+\frac\pi8.$$ これらを体積式に代入すると $$\displaystyle V=\pi\left(\frac{7\pi^3}{24}-\frac{\pi^3}{48}-\frac\pi8\right) =\frac{\pi^2(13\pi^2-6)}{48}.$$

法線は$y=\pi-x$。領域をx軸回転すると外半径$\pi-x$、内半径$x\sin x$の円環になる。積分の差から体積$\displaystyle \frac{\pi^2(13\pi^2-6)}{48}$。