1京都大学 2003年 数学 第1問解答・解説

各 $a_n$ は正だから対数法則を使える。$n\ge2$ で $$\displaystyle \log\frac{a_n}{a_{n-1}}=\log\frac{n-1}{n+1}$$ より $a_n/a_{n-1}=(n-1)/(n+1)$。$a_1=1$ から積を取ると $$\displaystyle a_n=\prod\limits _{j=2}^n\frac{j-1}{j+1}=\frac{2}{n(n+1)}.$$ この式は $n=1$ でも成立する。従って部分分数に分けて $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^na_k=2\sum\limits _{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=2\left(1-\frac1{n+1}\right)=\boxed{\frac{2n}{n+1}}.$$