広島大学 2019年数学第1問解答・解説

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1問題

広島大学2019年度第1問

a>0，r>0とし，数列 $\{a_{n}\}$ を初項 $a$ ，公比 $r$ の等比数列とする。また，数列 $\{b_{n}\}$ は次のように定義される。 $b_{1}=a_{1},\quad b_{n+1}=b_{n}a_{n+1}\quad(n=1,2,3,\dots)$ 次の問いに答えよ。

(1) $b_{n}$ を $a,r$ および $n$ を用いて表せ。

(2) 一般項が $\displaystyle c_{n}=\frac{\log_{2}b_{n}}{n}$ である数列 $\{c_{n}\}$ は等差数列であることを証明せよ。

(3) (2)で与えられた数列 $\{c_{n}\}$ の初項から第 $n$ 項までの平均を $M_{n}$ とする。すなわち， $\displaystyle M_{n}=\frac{1}{n}\sum\limits _{k=1}^{n}c_{k}$ とする。このとき，一般項が $d_{n}=2^{M_{n}}$ である数列 $\{d_{n}\}$ は等比数列であることを証明せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle b_n=a^n r^{\frac{n(n-1)}2}$ 。 (2) $\displaystyle c_n=\log_2 a+\frac{n-1}{2}\log_2 r$ であり、初項 $\log_2 a$ 、公差 $\displaystyle \frac{\log_2 r}{2}$ の等差数列である。 (3) $\displaystyle M_n=\log_2 a+\frac{n-1}{4}\log_2 r$ 、したがって $\displaystyle d_n=a r^{\frac{n-1}{4}}$ 。よって $\{d_n\}$ は初項 $a$ 、公比 $r^{1/4}$ の等比数列である。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$a>0$ , $r>0$ だから $a_n=ar^{n-1}>0$ であり、 $b_n>0$ も漸化式から従う。以下の対数は全て定義される。 (1) 漸化式を繰り返して $b_n=a_1a_2\cdots a_n=a^n r^{0+1+\cdots+(n-1)}=\boxed{a^n r^{n(n-1)/2}}.$ (2) 対数の性質から $\displaystyle c_n=\frac{\log_2 b_n}{n}=\log_2a+\frac{n-1}{2}\log_2r.$ よって初項 $\log_2a$ 、公差 $(\log_2r)/2$ の等差数列である。 $r=1$ の場合も公差0として含む。 (3) 等差数列の平均を求めると $\displaystyle M_n=\frac1n\sum\limits _{k=1}^n c_k=\log_2a+\frac{n-1}{4}\log_2r.$ 従って $d_n=2^{M_n}=ar^{(n-1)/4}$ であり、初項 $a$ 、公比 $\boxed{r^{1/4}}$ の等比数列となる。

この問題で使う考え方

等比数列の積
対数法則
等差数列の平均

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