2広島大学 2019年 数学 第2問解答・解説

(1)　 $\displaystyle P(P_4=O)=P(a_1=a_3)P(a_2=a_4)=\frac1{N^2}$.

(2)　 $\displaystyle P(a_1\geq a_3)=P(a_2\leq a_4)=\frac{N+1}{2N},\quad P=\frac{(N+1)^2}{4N^2}$.

(3)　 $P_4\text{ が直線 }y=x\text{ 上にあるための必要十分条件は }a_1+a_4=a_2+a_3$ である。 $\displaystyle P=\frac{N^2+2\sum\limits _{k=1}^{N-1}k^2}{N^4}=\frac{N(2N^2+1)/3}{N^4}=\frac{2N^2+1}{3N^3}$.

(4)　 $\displaystyle S=\frac12\left|a_1a_2+a_2a_3-(a_1-a_3)a_4-a_1(a_2-a_4)\right|=\frac{a_3(a_2+a_4)}2$. $P_4=O$ならば$a_3=a_1,\quad a_4=a_2,\quad S=a_1a_2$. $2^k2^{m-k}=2^m,\quad k=0,1,\ldots,m\quad(m+1\text{通り})$. $\displaystyle P=\frac{m+1}{N^4}=\frac{m+1}{2^{4m}}$.

(1) $P_4=(0,0)$はa1=a3かつa2=a4と同値で、独立な2組の一致確率はそれぞれ$\displaystyle \frac1N$。(2) $x\geq0$は$a_1\geq a_3$、$y\leq0$は$a_2\leq a_4$。各確率は$\displaystyle \frac{N+1}{2N}$で、二組は独立。(3) $y=x$はa1+a4=a2+a3と同値。二つの独立な和の値$s=2,3,\ldots,2N$の個数は$1,2,\ldots,N-1,N,N-1,\ldots,1$なので、等しい確率は$\displaystyle \frac{N^2+2\sum\limits _{k=1}^{N-1}k^2}{N^4}=\frac{2N^2+1}{3N^3}$。(4) 平行な2辺の長さが$a_2,a_4$で、その間の距離がa3である台形の面積の公式から四角形の面積は$\displaystyle \frac{a_3(a_2+a_4)}2$。$P_4=O$なら$a_1=a_3,\quad a_2=a_4$となり面積$=a_1a_2$。$N=2^m$の場合、積がNとなる順序付き因数対は$(2^k,2^{m-k})\quad(k=0,\ldots,m)\text{の }m+1\text{通り}$。$a_3,a_4$もP4=Oにより定まり、全$N^4$個の等確率な四つ組のうち$m+1$個が条件を満たす。