1藤田医科大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) 根が異なる負の実数である条件は、根の和が負、積が正、判別式が正であること。従って $$a<0,\qquad a+8>0,\qquad a^2-4(a+8)=(a-8)(a+4)>0,$$ これらを合わせて $-8<a<-4$。

(2) 対角線 $BD=x$、$\angle BAD=A$ と置く。円に内接するので $\angle BCD=\pi-A$。三角形 $ABD$ と $BCD$ に余弦定理を使うと $$x^2=1^2+9^2-2\cdot1\cdot9\cos A=82-18\cos A,$$ $$x^2=8^2+12^2-2\cdot8\cdot12\cos(\pi-A)=208+192\cos A.$$ 従って $\cos A=-3/5$、$\sin A=4/5$。四角形の面積は2三角形の面積の和なので $$\displaystyle \frac12(1\cdot9+8\cdot12)\sin A=\frac{105}{2}\cdot\frac45=42.$$

(3) 千の位が4なら、一の位の奇数は1,3,5の3通り、残る百・十の位は $5\cdot4$ 通りで60個。千の位が5なら一の位は1,3の2通りなので40個。千の位が6なら一の位が1,3,5の3通りで60個。千の位が3の場合、3600を超えるには百の位が6でなければならず、その後一の位は1,5の2通り、十の位は残り4通りで8個。合計168個。

(4) $5x+7y=2017$ を7で見れば $5x\equiv1\pmod7$、従って $x\equiv3\pmod7$。$x=7k+3$、$y=286-5k$。$x,y$ が正となるのは $k=0,1,\ldots,57$ の58通り。

(5) $u=z$、$v=4/z$ と置くと $u+v=2$、$uv=4$。従って $u,v$ は $X^2-2X+4=0$ の共役な根 $2e^{\pm i\pi/3}$ である。よって $$z^{11}+(4/z)^{11}=2\cdot2^{11}\cos(11\pi/3)=2048.$$

(6) 部分分数分解 $$\displaystyle \frac1{k(k+3)}=\frac13\left(\frac1k-\frac1{k+3}\right)$$ で望遠和となり、極限は $\displaystyle \frac13(1+1/2+1/3)=11/18$。

(7) 正二十面体の20面は全て三角形で、各辺は2面に共有される。辺数を $E$ とすると $3\cdot20=2E$ より $E=30$。

(8) 各面が同じ三辺長 $\{4,5,6\}$ を持つことから $|OA|=4, |OB|=5, |OC|=6$。$\mathbf a=\overrightarrow{OA}$、$\mathbf b=\overrightarrow{OB}$、$\mathbf c=\overrightarrow{OC}$ と置くと $$\displaystyle \mathbf a\cdot\mathbf c=\frac{4^2+6^2-5^2}{2}=\frac{27}{2},\qquad \mathbf a\cdot\mathbf b=\frac{4^2+5^2-6^2}{2}=\frac52.$$ 従って $\mathbf a\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=11$。$|\mathbf a|=4$、$|\mathbf c-\mathbf b|=BC=4$ より $\cos\theta=11/(4\cdot4)=11/16$。

(9) 異なる2点 $u,v$ で接線が一致するには、$f'(u)=f'(v)$ と $f(u)-uf'(u)=f(v)-vf'(v)$ が必要。$s=u+v,p=uv$ とおくと前者から $\displaystyle p=s^2-\frac94s+\frac{13}{8}$、後者と合わせて $$\displaystyle (s-\tfrac32)(12s^2-36s+26)=0.$$ 後者の二つの候補では $u=v$ となるので、異なる接点では $s=3/2,p=1/2$。従って接点のx座標は $1/2,1$。$f'(1)=f'(1/2)=13$、$f(1)-13=17$ だから共通接線は $y=13x+17$。

(10) 第1ブロックは $1$、その後 $n$ 番目（$n\ge2$）は $2,3,\ldots,n,n-1,\ldots,1$。長さは $2n-2$、開始位置は $n^2-3n+4$、ブロックの和は $n^2-1$。第45ブロックの末尾は1981、第46ブロックは1982番目から始まる。第2017項は第46ブロックの先頭から36番目なので37。第1〜45ブロックの和は $$\displaystyle 1+\sum\limits _{n=2}^{45}(n^2-1)=31351,$$ 第46ブロックの最初の36項（2から37）の和は702。よって第2017項までの総和は32053。