3藤田医科大学 2017年 数学 第3問解答・解説

藤田医科大学 2017 問題3

(1)

$\alpha,\beta$ は正の実数であり、

$$\displaystyle \begin{aligned} (\alpha\beta)^5 &=\frac{(5\sqrt5+11)(5\sqrt5-11)}{4}\\ &=\frac{125-121}{4}=1. \end{aligned}$$

正の実数の5乗は単調増加なので

$$\boxed{\alpha\beta=1}.$$

(2)

$$\displaystyle \phi=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad \delta=\frac{\sqrt5-1}{2}$$

とおくと、$\phi,\delta>0$、$\delta=1/\phi$、$\phi^2=\phi+1$ である。後者を用いて

$$\displaystyle \phi^3=2\phi+1,\qquad \phi^4=3\phi+2,\qquad \phi^5=5\phi+3=\frac{11+5\sqrt5}{2}.$$

従って $\alpha^5=\phi^5$ であり、両方正だから $\alpha=\phi$。また

$$\displaystyle \delta^5=\frac{1}{\phi^5} =\frac{2}{11+5\sqrt5} =\frac{5\sqrt5-11}{2} =\beta^5.$$

両方正なので $\beta=\delta$。よって

$$\displaystyle \alpha-\beta-1 =\frac{1+\sqrt5}{2}-\frac{\sqrt5-1}{2}-1 =\boxed{0}.$$

最終結果・解法・確認事項

- (1)：$\alpha\beta=1$。 - (2)：$\alpha-\beta-1=0$。 - 解法：第五乗の積を計算し、黄金比に関する候補の第五乗を直接確かめる。 - 定義域：両根号内は正であり、$\alpha,\beta,\phi,\delta$ はすべて正の実数。正の第五乗根の一意性を用いた。 - issues：なし。