2藤田医科大学 2017年 数学 第2問解答・解説

$x=\sin t(1+\cos t)$ と $y=\cos t$ から、$t$ と $2\pi-t$ に対応する左右対称な枝が得られます。消去式は $x^2=(1-y)(1+y)^3$ です。$v=1+y$ とおくと $x=\pm v^{3/2}\sqrt{2-v}$ であり、$v\to0+$ のとき $x/(y+1)=\pm\sqrt{v(2-v)}\to0$ なので下端の共通接線は垂直線 $x=0$。したがって $(0,-1)$ が尖点です。代表点と左右の張り出しの最大点を使って概形を描けます。

面積は左右の枝の差の積分で求められます: $$\displaystyle S=2\int_{-1}^{1}(1+y)\sqrt{1-y^2}\,dy=\pi.$$ 奇関数の項は消え、残りは半径1の半円の面積から計算できます。