5京都大学 2018年 数学 第5問解答・解説

・ $t>0$ であり、$y=\log x$ の接線方向のベクトルは $\displaystyle (1,\frac1t)$ である。これに垂直で $x$ 成分が正の単位ベクトルは $$\displaystyle \frac{(1,-t)}{\sqrt{1+t^2}}.$$ 条件 $AB=1$ と $x_B>t$ に合う向きを選ぶと $$\displaystyle B=A+\frac{(1,-t)}{\sqrt{1+t^2}} =\left(t+\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},\ \log t-\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right).$$ したがって $$\displaystyle u'(t)=1-\frac{t}{(1+t^2)^{3/2}},\qquad v'(t)=\frac1t-\frac{1}{(1+t^2)^{3/2}}.$$

・ $\displaystyle c(t)=1-\frac{t}{(1+t^2)^{3/2}}$ とおく。$t>0$ なら $t^2<(1+t^2)^3$ なので $c(t)>0$。また $$\displaystyle (u'(t),v'(t))=c(t)\left(1,\frac1t\right),$$ よって二つの曲線の速さは $$\displaystyle |A'(t)|=\sqrt{1+\frac1{t^2}},\qquad |B'(t)|=c(t)\sqrt{1+\frac1{t^2}}.$$ $0<r<1$ では両曲線は $r\le t\le1$ の範囲で滑らかだから、弧長の差は $$\displaystyle \begin{aligned} L_1(r)-L_2(r) &=\int_r^1 (1-c(t))\sqrt{1+\frac1{t^2}}\,dt\\ &=\int_r^1\frac{1}{1+t^2}\,dt =\frac{\pi}{4}-\arctan r. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle \lim\limits _{r\to+0}\bigl(L_1(r)-L_2(r)\bigr)=\frac{\pi}{4}.$$

接線方向に垂直な長さ1のベクトルを、Bのx座標が大きくなる向きに選んで座標を求める。微分するとBの速度ベクトルはAの速度ベクトルの正の定数倍になるため、弧長差の被積分関数が簡単になる。積分後にrを0へ近づける。