IV日本医科大学 2019年 数学 第IV問解答・解説

日本医科大学 2019 医学部前期 問題 IV

$p=f'(t)$、$W=\sqrt{1+p^2}$ とおく。接線方向ベクトルは $(1,p)$ であり、下向きの法線方向ベクトルは $(p,-1)$ である。後者の長さは $W$ だから、長さ $1$ の下向き単位法線ベクトルは $(p/W,-1/W)$。

問1

点 $Q$ は $P$ からこの向きに距離 $1$ だけ進んだ点なので

$$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{PQ} =\left(\frac{f'(t)}{\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}}, -\frac{1}{\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}}\right)}.$$

問2

$P(t,f(t))$ に問1のベクトルを加えると

$$\displaystyle \boxed{a(t)=t+\frac{f'(t)}{\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}}, \qquad b(t)=f(t)-\frac{1}{\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}}}.$$

問3

$p=f'(t)$、$p'=f''(t)$、$W=\sqrt{1+p^2}$ とする。問2を微分すると

$$\displaystyle a'(t)=1+\frac{p'}{W^3}, \qquad b'(t)=p+\frac{p\,p'}{W^3}.$$

実際、$\displaystyle \frac{d}{dt}(p/W)=p'/W^3$ および $\displaystyle \frac{d}{dt}(-1/W)=pp'/W^3$ である。従って

$$\displaystyle b'(t)=p\left(1+\frac{p'}{W^3}\right) =f'(t)a'(t),$$

すなわち

$$\boxed{b'(t)=f'(t)a'(t)}.$$

問4

$f''(t)\ge0$ から

$$\displaystyle a'(t)=1+\frac{f''(t)}{(1+\{f'(t)\}^2)^{3/2}}\ge1.$$

曲線 $P$ と $Q$ の速さはそれぞれ

$$|P'(t)|=\sqrt{1+\{f'(t)\}^2},$$

$$|Q'(t)|=\sqrt{\{a'(t)\}^2+\{b'(t)\}^2} =a'(t)\sqrt{1+\{f'(t)\}^2},$$

である。ここでは $b'=f'a'$ と $a'\ge1$ を用いた。よって

$$\displaystyle \begin{aligned} \Delta L(T_1,T_2) &=\int_{T_1}^{T_2}\bigl(|Q'(t)|-|P'(t)|\bigr)\,dt\\ &=\int_{T_1}^{T_2}(a'(t)-1)\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}\,dt\\ &=\boxed{\int_{T_1}^{T_2} \frac{f''(t)}{1+\{f'(t)\}^2}\,dt}. \end{aligned}$$

最後の等式は問3の $a'-1=f''/(1+\{f'\}^2)^{3/2}$ を代入したものである。

問5

$f(x)=(e^x+e^{-x})/2=\cosh x$ なら $f'(t)=\sinh t$、$f''(t)=\cosh t$。問4の式から

$$\displaystyle \Delta L(T_1,T_2) =\int_{T_1}^{T_2}\frac{\cosh t}{1+\sinh^2t}\,dt.$$

$u=\sinh t$ と置換すると $du=\cosh t\,dt$ だから

$$\Delta L(T_1,T_2) =\arctan(\sinh T_2)-\arctan(\sinh T_1).$$

$T_2\to+\infty$ で $\sinh T_2\to+\infty$、$T_1\to-\infty$ で $\sinh T_1\to-\infty$。従って

$$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{\substack{T_1\to-\infty\\T_2\to+\infty}} \Delta L(T_1,T_2)=\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi}.$$

最終結果・解法・確認事項

- 問1：$\displaystyle\overrightarrow{PQ}=\left(\frac{f'(t)}{\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}},-\frac1{\sqrt{1+\{f'(t)\}^2}}\right)$。 - 問2：$\displaystyle a=t+\frac{f'}{\sqrt{1+\{f'\}^2}},\ b=f-\frac1{\sqrt{1+\{f'\}^2}}$。 - 問3：$b'=f'a'$。 - 問4：$\displaystyle\Delta L=\int_{T_1}^{T_2}\frac{f''(t)}{1+\{f'(t)\}^2}\,dt$。 - 問5：極限は $\pi$。 - 解法：接線・法線ベクトル、微分、曲線の速さによる弧長、置換積分。 - 定義域：問4では$T_1\le t\le T_2$ の範囲の $C^2$ 関数を用いた。問5の広義積分は逆正接の極限で評価した。 - issues：なし。