I日本医科大学 2019年 数学 第I問解答・解説

日本医科大学 2019 医学部前期 問題 I

問1

$a=1$ では $C_2$ は $\displaystyle y=x^2-\dfrac34$ である。$C_1$ より $x^2=y^2+1$ なので、交点の $y$ 座標は

$$\displaystyle y=y^2+1-\frac34, \qquad (y-\tfrac12)^2=0.$$

したがって $\displaystyle y=\frac12$、$\displaystyle x^2=1+\frac14=\frac54$ であり、共有点は

$$\displaystyle \boxed{\left(\frac{\sqrt5}{2},\frac12\right),\quad \left(-\frac{\sqrt5}{2},\frac12\right)}.$$

問2

$\displaystyle c=\dfrac{3}{2(a+1)}$ とおく。$C_1$ から $x^2=y^2+1$ だから、交点の $y$ 座標は

$$y=a(y^2+1)-c \quad\text{すなわち}\quad ay^2-y+(a-c)=0.$$

$a\ne0$ なのでこれは二次方程式であり、判別式は

$$\displaystyle \begin{aligned} D&=1-4a(a-c)=1-4a^2+4ac\\ &=\frac{(1-a)(4a^2+8a+1)}{a+1}. \end{aligned}$$

$D>0$ のとき、異なる実数解 $y_1,y_2$ が二つあり、それぞれについて $x=\pm\sqrt{y_i^2+1}$ が得られる。平方根の中は常に正なので、各 $y_i$ から異なる二点が生じ、合計四点である。逆に四点で交わるなら $y$ は異なる二値をとるので $D>0$ が必要である。よって条件は $D>0$。

$4a^2+8a+1=0$ の解は $\displaystyle -1\pm\frac{\sqrt3}{2}$ である。分母の符号も含めて符号を調べ、もとの条件 $a\ne0,-1$ を合わせると

$$\displaystyle \boxed{-1-\frac{\sqrt3}{2}<a<-1 \quad\text{または}\quad -1+\frac{\sqrt3}{2}<a<1,\ a\ne0}.$$

問3

問2の条件のもとで、二つの $y$ 座標を $y_1,y_2$ とする。交点は $$(\pm\sqrt{y_1^2+1},y_1),\qquad (\pm\sqrt{y_2^2+1},y_2)$$ である。各高さで左右対称なので、これら四点を通る円の中心の $x$ 座標は $0$ である。中心を $(0,q)$ とおくと、各組の二点までの距離が等しく、さらに二つの高さで距離が等しいことから

$$(y_1^2+1)+(y_1-q)^2=(y_2^2+1)+(y_2-q)^2.$$

$y_1\ne y_2$ より整理して $q=y_1+y_2$。二次方程式 $ay^2-y+(a-c)=0$ の解の和は $1/a$ だから、中心は $$\displaystyle \boxed{\left(0,\frac1a\right)}.$$

半径 $r$ は、どちらの解 $y_i$ を使っても $$\begin{aligned} r^2&=y_i^2+1+(y_i-1/a)^2\\ &=2(y_i^2-y_i/a)+1+1/a^2. \end{aligned}$$ 方程式を $a$ で割ると $y_i^2-y_i/a=-1+c/a$ なので $$\displaystyle \begin{aligned} r^2&=-1+2c/a+1/a^2\\ &=\frac{-a^3-a^2+4a+1}{a^2(a+1)}, \end{aligned}$$ ここで $c=3/[2(a+1)]$ を代入した。したがって $$\displaystyle \boxed{r=\sqrt{\frac{-a^3-a^2+4a+1}{a^2(a+1)}}}, \qquad \boxed{\text{ア}=4,\ \text{イ}=1,\ \text{ウ}=2,\ \text{エ}=1}.$$

最終結果・解法・確認事項

- 問1：共有点は $\displaystyle \left(\pm\frac{\sqrt5}{2},\frac12\right)$。 - 問2：$\displaystyle -1-\frac{\sqrt3}{2}<a<-1$ または $\displaystyle -1+\frac{\sqrt3}{2}<a<1$ かつ $a\ne0$。 - 問3：中心は $(0,1/a)$、半径は上記の式、空欄は $(4,1,2,1)$。 - 解法：$x^2=y^2+1$ による消去、二次方程式の判別式と解と係数の関係、円の対称性と距離の計算。 - 定義域：問題の仮定 $a\ne0,-1$ を用いた。問3は問2の四交点条件を仮定する。 - issues：なし。