1名古屋大学 2020年 数学 第1問解答・解説

(1) b=0 なら直線は垂直線 x=1/a (a$\ne$0) であり、 x>0 と x<0 の両方の部分とは交わらない。そこで b$\ne$0 とし、 d=b^2-a^2 とおく。直線から y=(ax-1)/b なので、交点の x 座標は $$\displaystyle x^2-\left(\frac{ax-1}{b}\right)^2=1\quad\text{すなわち}\quad dx^2+2ax-(b^2+1)=0$$ を満たす。 d=0 なら、 b$\ne$0 より a$\ne$0 で、この式は一次方程式となるので交点は高々一つである。 d<0 なら、実根が二つある場合でもその積は -(b^2+1)/d>0 であり、異符号にはならない。 d>0 なら判別式は 4b^2(d+1)>0、根の積は -(b^2+1)/d<0 だから、二つの実根は異符号である。各 x に対して y=(ax-1)/b が一意に定まるので、このとき交点は C_1,C_2 に一つずつある。よって条件は b^2-a^2>0。

(2) 二根を x_+>0>x_- とする。判別式から $$\displaystyle x_+-x_- = \frac{2|b|\sqrt{d+1}}{d}.$$ 直線上では $\Delta$ y=(a/b)$\Delta$ x なので $$\displaystyle |PQ|=(x_+-x_-)\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}=\frac{2\sqrt{d+1}\sqrt{a^2+b^2}}{d}.$$ 点 A(a,b) と直線 ax-by=1 の距離は $$\displaystyle \frac{|a^2-b^2-1|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{d+1}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$ したがって $$\displaystyle S=\frac12|PQ|\,\operatorname{dist}(A,ax-by=1)=\frac{(d+1)^{3/2}}{d}.$$

(3) d>0 に対し $$\displaystyle S^2-\frac{27}{4}=\frac{(d+1)^3}{d^2}-\frac{27}{4}=\frac{(d-2)^2(4d+1)}{4d^2}\ge0.$$ S>0 だから S$\ge$3$\sqrt3$/2 であり、等号は d=2 のときに限る。すなわち最小値は 3$\sqrt3$/2、その条件は b^2-a^2=2。