I日本医科大学 2016年 数学 第I問解答・解説

I（問1〜問3）

問1

三角形 $ABD$ に余弦定理を用いると， $$BD^2=(1+\sqrt3)^2+2^2-2(1+\sqrt3)\cdot2\cos60^\circ=6$$ であるから，$BD=\sqrt6$。 $$\displaystyle \cos\angle ABD=\frac{AB^2+BD^2-AD^2}{2AB\cdot BD} =\frac{(1+\sqrt3)^2+6-4}{2(1+\sqrt3)\sqrt6} =\frac{1}{\sqrt2}$$ より，$\angle ABD=45^\circ$。

$ABCD$ は円に内接するので，$\angle BCD=180^\circ-\angle DAB=120^\circ$。また $BC=CD$ より，三角形 $BCD$ の底角はともに $30^\circ$ である。正弦定理から $$\displaystyle BC=CD=BD\frac{\sin30^\circ}{\sin120^\circ}=\sqrt2.$$ 座標を $A=(0,0),\ B=(1+\sqrt3,0),\ D=(1,\sqrt3)$ とおく。$BD=\sqrt6$ の中点を $M$ とすると $$\displaystyle M=\left(\frac{2+\sqrt3}{2},\frac{\sqrt3}{2}\right).$$ $BC=\sqrt2$ なので，直角三角形 $BMC$ から $CM=\sqrt{2-(\sqrt6/2)^2}=1/\sqrt2$。$C$ は $BD$ に関して $A$ と反対側にあり，$BD$ に垂直なその向きの単位ベクトルは $(1,1)/\sqrt2$ である。したがって $$\displaystyle C=M+\frac1{\sqrt2}\frac{(1,1)}{\sqrt2} =\left(\frac{3+\sqrt3}{2},\frac{1+\sqrt3}{2}\right).$$ 直線 $BD$ は $x+y=1+\sqrt3$，直線 $AC$ は原点と $C$ を通る。これらの交点 $P$ は $$\displaystyle P=\frac{1+\sqrt3}{2+\sqrt3}C=(\sqrt3,1)$$ である。よって $$BP=\sqrt{(1+\sqrt3-\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt2.$$ 三角形 $BCD$ は二等辺三角形なので，$CQ$ は $BD$ の垂直二等分線である。$C-M=(1/2,1/2)$ より $CQ$ は $y=x-1$，したがって $Q=(1,0)$。また $R$ は直線 $BD$ と $CQ$ の交点だから $$\displaystyle R=\left(1+\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt3}{2}\right).$$ $B$ から $BD$ 上での距離は $BP=\sqrt2$, $BR=\sqrt{3/2}$ であり，$R$ は $B,P$ の間にある。よって $$\displaystyle PR=\sqrt2-\sqrt{\frac32}.$$ さらに $BQ=\sqrt3$，$\angle QBP=45^\circ$ であるから，余弦定理により $$PQ=\sqrt{3+2-2\sqrt3\sqrt2\cos45^\circ}=\sqrt{5-2\sqrt3}.$$ 同じく $\angle QBR=45^\circ$ より $$\displaystyle QR=\sqrt{3+\frac32-2\sqrt3\sqrt{\frac32}\cos45^\circ}=\sqrt{\frac32}.$$ 三角形 $PQR$ の面積を $S$ とすると，高さは $BQ\sin45^\circ=\sqrt{3/2}$ なので $$\displaystyle 2S=PR\sqrt{\frac32}=\sqrt3-\frac32=\frac{2\sqrt3-3}{2}.$$ 周の長さは $PQ+QR+PR=\sqrt{5-2\sqrt3}+\sqrt2$。したがって内接円の半径 $r$ は $$\displaystyle r=\frac{2S}{PQ+QR+PR} =\frac{2\sqrt3-3}{2\bigl(\sqrt2+\sqrt{5-2\sqrt3}\bigr)} =\boxed{\frac{\sqrt2-\sqrt{5-2\sqrt3}}{2}}.$$ 最後の等式では分母に $\sqrt2-\sqrt{5-2\sqrt3}$ を掛けた。実際，差の平方は $2-(5-2\sqrt3)=2\sqrt3-3$ である。

問2

$n$ を $3$ で割った余りによって，$a_n+b_n$ は $$n\equiv1,2,0\pmod3\quad\text{より}\quad a_n+b_n=2,3,0$$ と周期 $3$ で繰り返す。したがって $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{2016}(a_n+b_n)=\frac{2016}{3}(2+3+0)=3360.$$ また $c_n=a_{n+2}+b_{n+1}+2a_n$ とおくと，$n\equiv1,2,0\pmod3$ の順に $c_n=3,5,3$ となり，周期 $3$ の和は $11$。$m=3q+r$（$r=0,1,2$）とすると和はそれぞれ $$11q,\qquad 11q+3,\qquad 11q+8$$ である。これらが $2016$ となる場合を調べると，$r=1$ のとき $2016=11\cdot183+3$ となる。よって $$m=3\cdot183+1=\boxed{550}.$$

問3

$C$ を $y$ について解くと $y=\pm\sqrt{3+3x^2/4}$ である。接線の傾きは，陰関数の微分により $$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3x}{4y}.$$ 直線 $\ell_k$ の傾きは $3/4$ なので，接点では $x=y$。これを $C$ に代入して $$\displaystyle \frac{x^2}{4}-\frac{x^2}{3}=-1,\qquad x^2=12.$$ 接点は $(2\sqrt3,2\sqrt3)$ または $(-2\sqrt3,-2\sqrt3)$ であり，$3x-4y+k=0$ に代入すると $k=x$。ゆえに $$\boxed{k=\pm2\sqrt3}.$$

点 $(x,y)$ と $\ell_0$ の距離は $|3x-4y|/5$。上側の枝では $y=\sqrt{3+3x^2/4}$ であり，$4y>|3x|$（両辺を二乗した差は $48+3x^2>0$）だから $|3x-4y|=4y-3x$。この関数の導関数は $3x/y-3$ である。$y>0$ のもとで，これは $x<2\sqrt3$ なら負，$x>2\sqrt3$ なら正となる（$x=y$ となるのは $x=2\sqrt3$）。従って最小値は $(x,y)=(2\sqrt3,2\sqrt3)$ で $2\sqrt3$。下側の枝は原点対称なので同じ最小値となる。ゆえに求める距離は $$\displaystyle \boxed{\frac{2\sqrt3}{5}}.$$