15東邦大学 2013年 数学 第15問解答・解説

接点を $R=(r,s)$ とする。$s=0$ なら接線は垂直線となり、2つの漸近線との交点の $x$ 座標が等しくなるので、問題のP,Qの区別に反する。よって $s\ne0$ である。この双曲線を $y=\pm b\sqrt{x^2/a^2-1}$ と見て微分し、$s^2=b^2(r^2/a^2-1)$ を用いると接線の傾きは $b^2r/(a^2s)$ となる。したがって接線は $\displaystyle y-s=\frac{b^2r}{a^2s}(x-r)$ であり、$b^2r^2-a^2s^2=a^2b^2$ より接線の式は $$\displaystyle \frac{rx}{a^2}-\frac{sy}{b^2}=1$$ となる。$x$ 軸との交点が $(\sqrt2,0)$ だから $r=a^2/\sqrt2>0$。接点が双曲線上にあることから $$\displaystyle \frac{s^2}{b^2}=\frac{a^2}{2}-1,\qquad \rho=\frac{\sqrt2s}{ab}\quad\text{より}\quad \rho^2=1-\frac2{a^2}<1.$$ $k=b/a>1$ とおくと、漸近線は $y=\pm kx$ である。接線の式に代入すると、それぞれとの交点の $x$ 座標は $u=\sqrt2/(1-\rho)>0$、$v=\sqrt2/(1+\rho)>0$ である。2交点を $(u,ku)$、$(v,-kv)$ と表す。

三角形の面積と原点からの距離の積は $$3\sqrt6=kuv,\qquad 15=(1+k^2)uv$$ なので、$k/(1+k^2)=\sqrt6/5$。これを解くと $k=\sqrt{3/2}$ または $\sqrt{2/3}$ だが、$k>1$ より $k=\sqrt{3/2}$ である。よって $uv=15/(1+k^2)=6$。直線 $PQ$ の $x$ 軸との交点は $2uv/(u+v)$ だから $$\displaystyle \sqrt2=\frac{2uv}{u+v},\qquad u+v=6\sqrt2.$$ したがって $$\displaystyle PQ^2=(u-v)^2+k^2(u+v)^2 =(72-24)+\frac32\cdot72=156,$$ ゆえに $PQ=2\sqrt{39}$。したがって $\boxed{\text{ヤ}}=2,\ \boxed{\text{ユヨ}}=39$ である。