2東邦大学 2013年 数学 第2問解答・解説

原文の3辺の長さは $104,5x,x^2$ である。辺の長さは正なので $x>0$。 三角形の成立条件は、どの2辺の和も残りの1辺より大きいことである。 $$\begin{aligned} 104+5x>x^2 &\iff (x-13)(x+8)<0 \iff -8<x<13,\\ 104+x^2>5x &\iff x^2-5x+104>0, \end{aligned}$$ 後者は判別式 $25-4\cdot104<0$ かつ $x^2$ の係数が正なので常に成り立つ。残る条件は $$5x+x^2>104 \iff (x+13)(x-8)>0.$$ $x>0$ のもとではこれは $x>8$ を意味する。3条件と正値条件を合わせて $$\boxed{8<x<13}.$$ 端点では三角形が退化するため、両端は含まない。