1高知大学 2013年 数学 第1問解答・解説

(1) 作図 中心 $O$ は、点 $T$ における $\ell$ の垂線上にあり、かつ線分 $AT$ の垂直二等分線上にある。従ってこの2直線の交点を $O$ とし、半径 $OT$ で円を描けばよい。$AT$ は $\ell$ と平行でない（$a=0$ なら $AT$ は垂直線、$a\ne0$ なら傾き $(a-5)/a\ne1$）ので、交点は一意に定まる。 (2) 方程式 中心を $(h,k)$、半径を $r$ とする。接線と半径の垂直関係から $h+k=2a$。また $A,T$ は円上にあるので $$h^2+(k-5)^2=(h-a)^2+(k-a)^2.$$ 展開して $h+k=2a$ を代入すると $k=(2a^2+25)/10$、$h=(-2a^2+20a-25)/10$。さらに $$\displaystyle r^2=(h-a)^2+(k-a)^2=\frac{(2a^2-10a+25)^2}{50}>0,$$ 従って円の方程式は $$\displaystyle \left(x+\frac{a^2}{5}-2a+\frac52\right)^2+\left(y-\frac{a^2}{5}-\frac52\right)^2=\frac{(2a^2-10a+25)^2}{50}.$$ (3) 軌跡 問題文の変換式に $s=h,t=k$ を代入すると $$\displaystyle x=\sqrt2a,\qquad y=\frac{\sqrt2}{10}(2a^2-10a+25)=\frac{\sqrt2}{10}x^2-x+\frac{5\sqrt2}{2}.$$ $a$ は実数全体を動くので、この放物線全体が軌跡である。頂点は $(5\sqrt2/2,5\sqrt2/4)$、軸は $x=5\sqrt2/2$ である。