1東北大学 2026年 数学 第1問解答・解説

放物線上の点 $P(t)=(t,t^2)$ における接線は、導関数 $y'=2x$ より $y-t^2=2t(x-t)$、すなわち $y=2tx-t^2$ である。

(1) この接線が $(u,u-1)$ を通る条件は $u-1=2tu-t^2$、したがって $t^2-2ut+u-1=0$ である。その判別式は $$\displaystyle \Delta=(-2u)^2-4(u-1)=4(u^2-u+1)=4\left(\left(u-\frac12\right)^2+\frac34\right)>0.$$ よって異なる実数 $t_1,t_2$ が2つあり、それらに対応する接線の傾き $2t_1,2t_2$ も異なる。したがって条件を満たす接線はちょうど2本である。

(2) 解と係数の関係から $t_1+t_2=2u$、$t_1t_2=u-1$。接点を $P_i=(t_i,t_i^2)$ とすると、線分 $P_1P_2$ の中点 $M$ は $$\displaystyle M=\left(\frac{t_1+t_2}{2},\frac{t_1^2+t_2^2}{2}\right)=\left(u,\frac{(t_1+t_2)^2-2t_1t_2}{2}\right)=(u,2u^2-u+1).$$ また $P_1P_2$ の傾きは $t_1+t_2=2u$ である。$u>0$ なのでこれは有限かつ0でなく、垂直二等分線の傾きは $-1/(2u)$ となる。よって $m$ は $$\displaystyle y-(2u^2-u+1)=-\frac{1}{2u}(x-u)$$ と表せる。傾きが定まる直線なのでy軸と交わり、$x=0$ を代入すると $$\displaystyle q(u)=2u^2-u+1+\frac12=2u^2-u+\frac32=2\left(u-\frac14\right)^2+\frac{11}{8}.$$ したがって $u>0$ での最小値は $11/8$ であり、$u=1/4$ のとき達成する。