2長崎大学 2020年 数学 第2問解答・解説

(1) 放物線 $C$ を表す関数を $f(x)=x^2$ とすると $f'(x)=2x$ である。したがって、点 $Q(s,s^2)$ における接線は $$y-s^2=2s(x-s),\qquad\text{すなわち}\qquad y=2sx-s^2.$$ である。これが $P(t,t-1)$ を通るから $$t-1=2st-s^2,\qquad s^2-2ts+t-1=0.$$ よって、この二次方程式の2解 $s_1,s_2$ について、解と係数の関係から $$s_1+s_2=2t,\qquad s_1s_2=t-1.$$ なお、判別式は $$\displaystyle (-2t)^2-4(t-1)=4\left\{\left(t-\frac12\right)^2+\frac34\right\}>0$$ であるから、すべての実数 $t$ に対して異なる接点がある。

(2) 直線 $Q_1Q_2$ の傾きは $$\displaystyle \frac{s_2^2-s_1^2}{s_2-s_1}=s_1+s_2=2t.$$ その切片を $b$ とすると、$Q_1$ を通ることから $$b=s_1^2-2ts_1=-(t-1)=1-t$$ となる。したがって $$Q_1Q_2:\quad y=2tx+1-t.$$

(3) (2)の式を $y=1+t(2x-1)$ と書けば、$\displaystyle x=\frac12$ のとき $y=1$ となり、$t$ によらず直線 $Q_1Q_2$ は $$\displaystyle N\left(\frac12,1\right)$$ を通る。線分 $Q_1Q_2$ の中点の座標は $$\displaystyle \begin{aligned} M&=\left(\frac{s_1+s_2}{2},\frac{s_1^2+s_2^2}{2}\right)\\ &=\left(t,\frac{(s_1+s_2)^2-2s_1s_2}{2}\right) =(t,2t^2-t+1). \end{aligned}$$ $N=M$ なら、x座標から $\displaystyle t=\frac12$ であり、このときy座標も $$\displaystyle 2\cdot\frac14-\frac12+1=1$$ となる。よって求める値は $\displaystyle t=\frac12$ である。

(4) 直線 $Q_1Q_2$ と放物線 $C$ との差は $$(2tx+1-t)-x^2=-(x-s_1)(x-s_2)=(x-s_1)(s_2-x).$$ これは $s_1\le x\le s_2$ で0以上である。したがって、$d=s_2-s_1$ とおくと $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{s_1}^{s_2}(x-s_1)(s_2-x)\,dx\\ &=\int_0^d u(d-u)\,du=\frac{d^3}{6}. \end{aligned}$$ また $$d=\sqrt{(s_1+s_2)^2-4s_1s_2}=2\sqrt{t^2-t+1},$$ ゆえに $$\displaystyle S=\frac43(t^2-t+1)^{3/2}.$$ ここで $$\displaystyle t^2-t+1=\left(t-\frac12\right)^2+\frac34$$ であり、右辺は $\displaystyle t=\frac12$ のとき最小となる。よって $S$ もこのとき最小で、そのときの $P$ の座標は $$\displaystyle P\left(\frac12,\frac12-1\right)=P\left(\frac12,-\frac12\right)$$ （最小値は $\displaystyle S=\frac{\sqrt3}{2}$ である。）