2日本大学 2019年 数学 第2問解答・解説

問題[2] (1) 直線 $y=2x+k$ を楕円の式に代入すると $$8x^2+4kx+k^2-16=0.$$ 直線と楕円の共有点がちょうど2個であるためには、この $x$ の二次方程式が異なる2実根をもてばよい。判別式は $$(4k)^2-4\cdot8(k^2-16)=16(32-k^2)$$ だから、条件は $k^2<32$、すなわち $$-4\sqrt2<k<4\sqrt2.$$ (2) $n\ge2$ では $a_n=S_n-S_{n-1}$ を計算し、$n=1$ でも同じ式を確かめると $$\displaystyle a_n=\frac{n^2-26n+29}{4}=\frac{(n-13)^2-140}{4}.$$ $n$ は正の整数であり、平方項は $n=13$ で最小になるので、$a_n$ は $n=13$ のとき最小値 $-35$ をとる。 (3) 極限が有限値をもつためには分子も $x=2$ で0となる必要があり、$b=\sqrt{a+2}$。このとき有理化すると $$\displaystyle \frac{\sqrt{x+a}-b}{x-2} =\frac{1}{\sqrt{x+a}+b}.$$ よって極限条件から $1/(2b)=2$、従って $b=1/4$。さらに $a+2=b^2=1/16$ なので $$\displaystyle a=-\frac{31}{16},\qquad b=\frac14.$$ (4) 交点の $x$ 座標は $$\displaystyle -x^2+3=x^2-5x\text{、すなわち } 2x^2-5x-3=0 \text{、すなわち } x=-\frac12,\ 3.$$ 対応する交点は $(-1/2,11/4)$ と $(3,-6)$。区間内では $-x^2+3$ が上側なので、囲まれる面積は $$\displaystyle \int_{-1/2}^{3}\bigl((-x^2+3)-(x^2-5x)\bigr)\,dx =\int_{-1/2}^{3}(-2x^2+5x+3)\,dx=\frac{343}{24}.$$ 2点を通る直線の傾きは $-5/2$ であり、切片は $3/2$。したがって方程式は $$5x+2y=3.$$