3名古屋市立大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1) 楕円の式に $y=x/2+k$ を代入すると $$\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+kx+k^{2}-1=0$$ を得る。$x$ について異なる二つの実数解をもつ条件は、判別式が正となることである。その判別式は $$\displaystyle \Delta=k^{2}-4\cdot\frac12(k^{2}-1)=2-k^{2}$$ だから、$k>0$ と合わせて $0<k<\sqrt{2}$ である。

(2) 上の二次方程式を変形すると $$(x+k)^{2}=2-k^{2},\qquad x=-k\pm\sqrt{2-k^{2}}.$$ したがって、二交点の $x$ 座標の差の絶対値は $2\sqrt{2-k^{2}}$ である。両点は傾き $1/2$ の直線上にあるので、$y$ 座標の差の絶対値は $\sqrt{2-k^{2}}$ である。よって $$AB=\sqrt{\bigl(2\sqrt{2-k^{2}}\bigr)^{2}+\bigl(\sqrt{2-k^{2}}\bigr)^{2}} =\sqrt{5(2-k^{2})}.$$

(3) 平行四辺形の向かい合う辺 $AB,CD$ は平行で長さが等しい。$CD$ を含む直線を $y=x/2+t$ とおく。$C,D$ は異なる楕円上の点だから、この直線も楕円と二点で交わり、$-\sqrt{2}<t<\sqrt{2}$ である。(2) と同じ計算により $$CD=\sqrt{5(2-t^{2})}.$$ $CD=AB$ より $t^{2}=k^{2}$ となる。平行四辺形は退化していないため、向かい合う辺 $AB,CD$ を含む直線は異なり、$t\ne k$ である。したがって $t=-k$ である。実際、楕円は原点に関して対称なので $C=-A,\ D=-B$ とすれば、二つの対角線の中点がともに原点となり、条件を満たす平行四辺形が存在する。

二直線 $y=x/2+k$ と $y=x/2-k$ の距離は $$\displaystyle h=\frac{2k}{\sqrt{1+(1/2)^{2}}}=\frac{4k}{\sqrt5}$$ である。よって、求める面積 $S$ は $$S=AB\cdot h=4k\sqrt{2-k^{2}},\qquad S^{2}=16k^{2}(2-k^{2}) =16\bigl\{1-(k^{2}-1)^{2}\bigr\}\le16.$$ $0<k<\sqrt2$ では $S>0$ であり、等号は $k^{2}=1$、すなわち $k=1$ のときに成立する。したがって最大面積は $S=4$ である。