1新潟大学 2003年 数学 第1問解答・解説

$\ell:y=tx+a$,　 $x^2-tx-a=0$　$\text{より}$　 $x_P-x_Q=\sqrt{t^2+4a}$.\ したがって $PQ^2=(1+t^2)(x_P-x_Q)^2=(1+t^2)(t^2+4a)$.\ $\displaystyle m:y=-\frac{x}{t}+a$,　 $\displaystyle x^2+\frac{x}{t}-a=0$　$\text{より}$　 $x_R-x_S=\sqrt{t^{-2}+4a}$.\ したがって $RS^2=(1+t^{-2})(x_R-x_S)^2=(1+t^{-2})(t^{-2}+4a)$.\ 四角形 PSQR の対角線 $PQ,SR$ は A で直交するので　 $\displaystyle T=\frac{PQ\cdot RS}{2}$.\ $\displaystyle T^2=\frac{(1+t^2)(1+t^{-2})(t^2+4a)(t^{-2}+4a)}{4}$\ $\displaystyle =\frac{(u+2)(4au+16a^2+1)}{4}$.\ $\displaystyle u-2=\left(t-\frac1t\right)^2\geq0$ より $u\geq2$, 等号は $t=1$. また $a>0$ なので $u+2$ と $4au+16a^2+1$ は正で $u$ とともに増加する。よって $T^2$ は $u=2$ で最小となり、$\displaystyle T_{\min}=\sqrt{(4a+1)^2}=4a+1$.