3藤田医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

格子点とは座標がともに整数の点である。また、$e$点全体は $$\displaystyle E_+=\left\{\left(m+e,n-\frac12\right):m,n\text{ は整数}\right\},\qquad E_-=\left\{\left(m-e,n-\frac12\right):m,n\text{ は整数}\right\}$$ の和集合である。$e$は無理数なのでこの二つは交わらない。

(1) 格子点$A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2)$を結ぶ線分上に$e$点$P$があると仮定する。$y_1=y_2$なら線分上の$y$座標は整数であり、$P$の$y$座標が半整数であることに反する。そこで$y_1\ne y_2$とする。$P=(1-t)A+tB$とおくと、$P_y$は半整数だから $$\displaystyle t=\frac{P_y-y_1}{y_2-y_1}\quad\text{は有理数}.$$ したがって$P_x=(1-t)x_1+tx_2$も有理数である。一方、$P$が$e$点なら$P_x=m+e$または$m-e$（$m$ は整数）であり、$e$の無理性からこれは無理数である。矛盾する。よって線分上に$e$点はない。

(2) 正方形の辺のベクトルは整数成分をもち、長さが1なので、各辺は$x$軸または$y$軸に平行である。したがって正方形は、ある整数$a,b$に対して$a<x<a+1$ かつ $b<y<b+1$ で表される内部をもつ。$\alpha=e-2$とおくと$0.7<\alpha<0.8$であり、この$x$区間には$E_+$の点が$x=a+\alpha$に1個、$E_-$の点が$x=a+1-\alpha$に1個ある。それぞれの列から他の$x$座標はこの区間に入らない。$b<y<b+1$ を満たす半整数は$\displaystyle b+\frac12$ただ1つである。よって内部の$e$点は合計2個である。

(3) 平行移動や軸の向きの反転により、三角形の頂点を$(0,0),(u,0),(0,v)$（$u,v$は正整数）としてよい。これを含む長方形は$uv$個の単位正方形に分かれる。(2)より各単位正方形の内部に$e$点が2個ある。分割線は格子点を結ぶ線分なので、(1)よりその上に$e$点はない。長方形全体の内部には従って$2uv$個ある。長方形の中心に関する点対称移動は$e$点を再び$e$点へ移し、対角線の両側の二つの直角三角形を交換する。対角線上には(1)より$e$点がないので、各三角形の内部に$uv$個ずつある。三角形の面積は$uv/2$だから、求める関係が成り立つ。

(4) 三角形を平行移動して頂点を$O=(0,0),U=(r,s),V=(t,w)$（$r,s,t,w$ は整数）とおく。三角形は非退化とし、 $$\delta=rw-st,\qquad \Delta=|\delta|>0$$ とおく。座標による三角形の面積公式から面積は$\Delta/2$である。以下、内部の$e$点数が$\Delta$個であることを示す。

まず$\Delta=1$の場合を考える。平行四辺形$Q=\{\lambda U+\mu V:0\leq\lambda,\mu\leq1\}$を見る。$E_+$の点$P_0=(x,y)$について、$\delta=\pm1$なので $$\displaystyle \lambda_0=\frac{wx-ty}{\delta},\qquad \mu_0=\frac{ry-sx}{\delta}$$ は$P_0=\lambda_0U+\mu_0V$を満たす。$\lambda_0,\mu_0$ からそれぞれ整数部分を引いた値を $\lambda,\mu$ とすると、$0\le\lambda<1,\ 0\le\mu<1$ である。このとき、$P=P_0-\lfloor\lambda_0\rfloor U-\lfloor\mu_0\rfloor V=\lambda U+\mu V$はなお$E_+$の点であり、$Q$内にある。同じ$E_+$の点が$Q$に二つあれば、その差は整数ベクトルである。$\delta=\pm1$の上の座標式から、その差の$U,V$に関する係数も整数であるが、二点の係数の差はともに絶対値1未満だから0である。ゆえに$Q$には$E_+$の点がちょうど1個ある。同じ議論で$E_-$の点もちょうど1個ある。$Q$の辺は格子点を結ぶ線分なので、(1)によりこれらの点は境界上になく、どちらも内部にある。

点$X$を$U+V-X$に移すと、$Q$は保たれ、整数ベクトル$U+V$を引くことにより$E_+$と$E_-$が入れ替わる。この移動は対角線$UV$で分けられる二つの三角形$OUV$と$U,V,U+V$を交換する。対角線$UV$には(1)より$e$点がない。$Q$内にある二つの$e$点はこの移動で互いに対応するので、三角形$OUV$の内部にはちょうど1個ある。面積は$1/2$であり、主張は成り立つ。

次に$\Delta>1$の場合を考える。格子点$E_1=(1,0),E_2=(0,1)$の両方が$U,V$の整数係数の和で表せると仮定し、整数$a,b,c,d$を用いて $$(1,0)=aU+bV,\qquad(0,1)=cU+dV$$ と書く。成分を掛けて引くと $$1=(ar+bt)(cs+dw)-(as+bw)(cr+dt)=(ad-bc)(rw-st)$$ となる。右辺は整数$ad-bc$と$\delta$の積だから$|\delta|=1$となり、$\Delta>1$に反する。よって$E_1,E_2$の少なくとも一方を$W_0$とすると、$W_0$は$U,V$の整数係数の和ではない。

$W_0=\alpha_0U+\beta_0V$と連立方程式を解くと、$\alpha_0,\beta_0$は有理数である。整数部分を引いて $$W=W_0-\lfloor\alpha_0\rfloor U-\lfloor\beta_0\rfloor V=\alpha U+\beta V,\qquad 0\leq\alpha,\beta<1$$ とする。$W$は格子点であり、$W_0$が整数係数の和でないため$\alpha,\beta$は同時に0ではない。$\alpha+\beta\leq1$なら$W$は三角形$OUV$内の頂点でない格子点である。$\alpha+\beta>1$なら、格子点$U+V-W=(1-\alpha)U+(1-\beta)V$は係数が正でその和が1未満なので、三角形の内部にある。

このように、$\Delta>1$の格子三角形には頂点でない格子点がある。その点が辺上なら辺で二つの格子三角形に、内部なら三つの格子三角形に分ける。各小三角形の面積の2倍を $\Delta_i$ とすると、これは正の整数であり、面積が正なので$\Delta_i<\Delta$である。分割の辺はいずれも格子点間の線分であり、(1)により$e$点を含まない。従って内部の$e$点数も面積も小三角形ごとに加算できる。正整数$\Delta$について、これを小さくしていけば有限回で$\Delta=1$の場合に至る。既に示した場合から、元の三角形の内部の$e$点数は$\Delta$個、すなわち面積の2倍である。

(5) 格子三角形の頂点差を$(a,b),(c,d)$とすると、面積は$|ad-bc|/2$であり、有理数である。仮に格子点を頂点とする正三角形があれば、その一辺のベクトルを$(a,b)$とでき、辺の長さの2乗$N=a^2+b^2$は正の整数である。その面積は $$\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}N$$ となる。$\sqrt3$は無理数で$N/4$は0でない有理数だから、この面積は無理数である。これは格子三角形の面積が有理数であることに反する。よってそのような正三角形は存在しない。