4筑波大学 2014年 数学 第4問解答・解説

採用解説: MM-66d7b96cc63d-Q4 結論　 $$\displaystyle \text{(1)}\quad A_1A_2=24,\ A_1A_3=\frac{96}{7},\ A_2A_3=\frac{72}{7},\ r_3=\frac{144}{49}.\quad \text{(2)}\quad a=b=1.\quad \text{(3)}\quad c=d=\frac{1}{12}.\quad \text{(4)}\quad x_n=\frac{\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}}{12},\quad r_n=\frac{144}{(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})^2}.\quad \quad$$ $C_i$ の中心から接点 $A_i$ へ下ろした垂線は $\ell$ に垂直で、長さは $r_i$ である。$C_i,C_j$ が外接するとき、中心間距離は $r_i+r_j$、中心の高さの差は $|r_i-r_j|$ なので $$A_iA_j=\sqrt{(r_i+r_j)^2-(r_i-r_j)^2}=2\sqrt{r_ir_j}$$。

(1) $C_3$ は $A_1,A_2$ の間で $\ell$ に接するから、$A_1A_2=A_1A_3+A_3A_2$。上式を使い、両辺を $2\sqrt{r_1r_2r_3}$ で割ると $$\displaystyle \frac1{\sqrt{r_3}}=\frac1{\sqrt{r_1}}+\frac1{\sqrt{r_2}},\quad x_3=x_1+x_2$$。 $x_1=1/4,\ x_2=1/3$ より $x_3=7/12$、したがって $r_3=1/x_3^2=144/49$。 さらに $$A_1A_2=2\sqrt{16\cdot9}=24,\quad A_1A_3=2\sqrt{16\cdot144/49}=96/7,\quad A_2A_3=2\sqrt{9\cdot144/49}=72/7$$。

(2) 各 n についても $C_{n+2}$ の接点 $A_{n+2}$ は $A_n,A_{n+1}$ の間にある。同じ距離関係から $$2\sqrt{r_nr_{n+1}}=2\sqrt{r_nr_{n+2}}+2\sqrt{r_{n+1}r_{n+2}}$$。 これを $2\sqrt{r_nr_{n+1}r_{n+2}}$ で割ると $$x_{n+2}=x_{n+1}+x_n$$。 よって $a=1,\ b=1$。

(3) 方程式 $t^2=t+1$ の解は $\alpha=(1+\sqrt5)/2,\ \beta=(1-\sqrt5)/2$。したがって $$\alpha^2=(3+\sqrt5)/2,\quad \beta^2=(3-\sqrt5)/2$$。 $x_1=c\alpha^2+d\beta^2=1/4$ より $$\displaystyle \frac32(c+d)+\frac{\sqrt5}{2}(c-d)=\frac14$$。 有理数 $c,d$ に対して $\sqrt5$ は無理数なので $c-d=0$。これを代入して $3c=1/4$、ゆえに $c=d=1/12$。

(4) $y_n=(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})/12$ とおく。$\alpha^2=\alpha+1,\ \beta^2=\beta+1$ より $y_{n+2}=y_{n+1}+y_n$。 また $\alpha+\beta=1,\ \alpha\beta=-1$ だから $$\displaystyle y_1=\frac{\alpha^2+\beta^2}{12}=\frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{12}=\frac14=x_1, \qquad y_2=\frac{\alpha^3+\beta^3}{12}=\frac{(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)}{12}=\frac13=x_2$$。 同じ漸化式と初項・第2項をもつので、帰納的に $y_n=x_n$ がすべての $n\geq1$ で成り立つ。したがって $$\displaystyle r_n=\frac1{x_n^2}=\frac{144}{(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1})^2}$$。