2徳島大学 2018年 数学 第2問解答・解説

(1)　 座標から $$OP=\sqrt2,\qquad OQ=\sqrt{x^{2}+x^{-2}},\qquad PQ^{2}=(x-1)^{2}+(x^{-1}-1)^{2}$$ である。余弦定理より $$\displaystyle 2\,OP\cdot OQ\cos\theta=OP^{2}+OQ^{2}-PQ^{2} =2\left(x+\frac1x\right),$$ したがって $$\displaystyle \cos\theta=\frac{x+x^{-1}}{\sqrt2\sqrt{x^{2}+x^{-2}}}.$$ 二倍角の公式を用いると $$\displaystyle \cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1 =\frac{(x+x^{-1})^{2}}{x^{2}+x^{-2}}-1 =\frac{2}{x^{2}+x^{-2}}.$$ $0<\theta<\pi/4$ だから $\cos2\theta>0$ であり、 $$\displaystyle x^{2}+\frac1{x^{2}}=\frac{2}{\cos2\theta}$$ を得る。

(2)　 $K=2/\cos2\theta$ とおくと $K>2$ である。$u=x^{2}>0$ と置けば、(1)は $$u^{2}-Ku+1=0$$ となる。この判別式は $K^{2}-4>0$、また2根の積は $1$、和は $K>0$ なので、異なる正の根 $u_{-},u_{+}$ がちょうど2つある。よって候補となる正の $x$ は $x=\sqrt{u_{-}},\sqrt{u_{+}}$ の2つである。

逆に、この二次方程式の根から得た $x$ について $\varphi=\angle POQ$ とする。$P,Q$ はともに第1象限にあるため $0\leq\varphi<\pi/4$ であり、$u=1$ は $K>2$ のもとで方程式の根でないから $\varphi>0$ である。(1)と同じ計算を $\varphi$ に適用すると $$\displaystyle \cos2\varphi=\frac{2}{x^{2}+x^{-2}}=\cos2\theta.$$ $0<2\varphi<\pi/2,\ 0<2\theta<\pi/2$ で余弦は単調減少するので $\varphi=\theta$。したがって、もとの条件を満たす点 $Q$ はちょうど2個である。

$\theta=\pi/6$ では $K=4$ となり、 $$x_{1}^{2}=2-\sqrt3,\qquad x_{2}^{2}=2+\sqrt3,\qquad x_{1}x_{2}=1 \quad (x_{1}<x_{2}).$$ ゆえに $Q_{1}=(x_{1},x_{2})$、$Q_{2}=(x_{2},x_{1})$ であり、 $$Q_{1}Q_{2} =\sqrt{2(x_{2}-x_{1})^{2}} =\sqrt{2\{(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})-2x_{1}x_{2}\}} =\sqrt{2(4-2)}=2.$$

(3)　 一般の $0<\theta<\pi/4$ でも、(2)の二根の積から $x_{1}x_{2}=1$ である。$x_{1}<x_{2}$ より $x_{1}<1<x_{2}$。したがって直線 $OQ_{1}$ の傾きは $1/x_{1}^{2}>1$、直線 $OQ_{2}$ の傾きは $1/x_{2}^{2}<1$ である。$OP$ の方向角は $\pi/4$ なので、$Q_{1},Q_{2}$ への方向角をそれぞれ $\alpha_{1},\alpha_{2}$ とすると $$\displaystyle \alpha_{1}=\frac{\pi}{4}+\theta,\qquad \alpha_{2}=\frac{\pi}{4}-\theta,\qquad \alpha_{1}-\alpha_{2}=2\theta<\frac{\pi}{2}.$$ 原点中心の正六角形では、頂点への方向の最小角差は $\pi/3,2\pi/3,\pi$ のいずれかである。上の角差は $\pi/2$ 未満だから $2\theta=\pi/3$、すなわち $\theta=\pi/6$ となる。

このとき $\alpha_{2}=\pi/12,\ \alpha_{1}=5\pi/12$。また、(1)から $$\displaystyle OQ_{1}^{2}=x_{1}^{2}+x_{1}^{-2}=\frac{2}{\cos(\pi/3)}=4$$ なので正六角形の外接円の半径は $2$ である。既知の頂点 $Q_{2},Q_{1},Q_{4},Q_{3}$ の方向は順に $\pi/12,5\pi/12,13\pi/12,17\pi/12$ であり、残る方向は $3\pi/4$ と $7\pi/4$。$a_{1}<0<b_{1}$ より $$A=(2\cos(3\pi/4),2\sin(3\pi/4))=(-\sqrt2,\sqrt2),\qquad B=(2\cos(7\pi/4),2\sin(7\pi/4))=(\sqrt2,-\sqrt2).$$