徳島大学 2018年数学第1問解答・解説

1問題

徳島大学2018年度第1問

$n$ を自然数とし， $\displaystyle S_{n}=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ とする。

(1) $x>0$ のとき， $\displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}<\sqrt{x+1}-\sqrt{x}<\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ を示せ。

(2) $n\geq 2$ のとき， $2(\sqrt{n+1}-1)<S_{n}<2\sqrt{n}-1$ を示せ。

(3) $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\dfrac{S_{n}}{\sqrt{n}}$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

平方根の差を有理化して隣り合う項の差と比較する。(2)では適切な範囲で加え、途中の項が打ち消し合うことを用い、(3)では得られた評価を√nで割ってはさみうちの原理を適用する。

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad \frac{1}{2\sqrt{x+1}}<\sqrt{x+1}-\sqrt{x}<\frac{1}{2\sqrt{x}};\qquad$ (2) $\quad 2(\sqrt{n+1}-1)<S_n<2\sqrt{n}-1;\qquad$ (3) $\quad 2$

解答を見る途中式つきの解答

(1) $x>0$ より $0<\sqrt{x}<\sqrt{x+1}$ である。したがって $2\sqrt{x}<\sqrt{x+1}+\sqrt{x}<2\sqrt{x+1}$ であり，

$\displaystyle \sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$

となる。各辺は正であるから，分母の大小を逆にして

$\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x+1}}<\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}<\frac{1}{2\sqrt{x}}$

を得る。

(2) (1)の右側の不等式に $x=k$ （ $k=1,2,\ldots,n$ ）を代入すると， $2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})<1/\sqrt{k}$ である。これを $k=1$ から $n$ まで加えると，

$\displaystyle 2(\sqrt{n+1}-1)<\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}=S_n$

となる。次に，(1)の左側の不等式に $x=k$ （ $k=1,2,\ldots,n-1$ ）を代入すると， $1/\sqrt{k+1}<2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$ である。これを加えると，

$\displaystyle \sum\limits _{j=2}^{n}\frac{1}{\sqrt{j}}<2(\sqrt{n}-1)$

である。よって $\displaystyle S_n=1+\sum\limits _{j=2}^{n}1/\sqrt{j}$ より $S_n<2\sqrt{n}-1$ 。以上から所望の不等式を得る。

(3) (2)を $\sqrt{n}$ で割ると，

$\displaystyle 2\sqrt{1+\frac{1}{n}}-\frac{2}{\sqrt{n}}<\frac{S_n}{\sqrt{n}}<2-\frac{1}{\sqrt{n}}.$

ここで $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}\to0$ であり，

$\displaystyle 0<\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1=\frac{1/n}{\sqrt{1+1/n}+1}<\frac{1}{2n}\to0$

だから，左辺と右辺はいずれも $2$ に収束する。はさみうちの原理により $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}\frac{S_n}{\sqrt{n}}=2$ 。

この問題で使う考え方