10東邦大学 2020年 数学 第10問解答・解説

第10問

$x=0$を左側の不等式に代入すると$a\ge1/4$である。また同じく$x=0$を右側の不等式に代入すると$a\le1/4$なので $$\displaystyle a=\frac14.$$ このとき$x>0$では $$\displaystyle \frac14-\frac1{4+x} =\frac{x}{4(4+x)}\le bx \quad\text{すなわち}\quad b\ge\frac1{4(4+x)}.$$ 右辺は$x\to0+$で$1/16$に近づくため、全ての$x>0$で成り立つには$b\ge1/16$が必要である。逆に$b=1/16$なら$4(4+x)\ge16$より上の不等式が全ての$x>0$で成立し、$x=0$でも等号で成立する。従って最小値は$1/16$。 次の和は $$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^n\frac{k}{4n^2+k}.$$ $1\le k\le n$より$4n^2\le4n^2+k\le4n^2+n$なので、正の量の逆数を使って $$\displaystyle \frac{1}{4n^2+n}\sum\limits _{k=1}^nk \le S_n\le \frac{1}{4n^2}\sum\limits _{k=1}^nk.$$ 従って $$\displaystyle \frac{n(n+1)}{2(4n^2+n)} \le S_n\le \frac{n(n+1)}{8n^2}.$$ 両端は$n\to\infty$でいずれも$1/8$に収束するから、はさみうちの原理により $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}S_n=\frac18.$$ よって $$\boxed{\text{シ}=1,\quad \text{スセ}=16,\quad \text{ソ}=1,\quad \text{タ}=8}.$$ 検算として$b=1/16$のとき、$\displaystyle \frac{x}{4(4+x)}\le x/16$は$4+x\ge4$から全$x\ge0$で成立する。また極限の上下界はいずれも$1/8$となる。