3東邦大学 2020年 数学 第3問解答・解説

第3問

$$p_1=x+y+z=1,\qquad p_3=x^3+y^3+z^3=13,\qquad s_2=xy+yz+zx,\quad s_3=xyz=-2$$ とおく。恒等式 $$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz$$ に条件を代入すると $$13=1-3s_2-6=-5-3s_2$$ だから $$s_2=-6.$$ 次に $$p_2=x^2+y^2+z^2=p_1^2-2s_2=1+12=13.$$ 各数$x,y,z$は方程式 $$t^3-p_1t^2+s_2t-s_3=0$$ の根である。根の等式$t^3=p_1t^2-s_2t+s_3$に$t$を掛けて$x,y,z$について加えると $$p_4=p_1p_3-s_2p_2+s_3p_1 =1\cdot13-(-6)\cdot13+(-2)\cdot1=89.$$ 従って $$\boxed{xy+yz+zx=-6,\qquad x^4+y^4+z^4=89}.$$ 検算として、$p_1=1,s_2=-6,s_3=-2$を立方和の恒等式に戻すと$1-3(-6)+3(-2)=13$となり、与条件と一致する。上の根の等式から求めた$p_4$も$13+78-2=89$である。