7東邦大学 2020年 数学 第7問解答・解説

第7問

$\bar{x}_{27}=8$だから $$x_1+\cdots+x_{27}=27\cdot8=216.$$ また$\bar{x}_{30}\ge8$より全30個の和は$240$以上である。従って $$x_{28}+x_{29}+x_{30}\ge240-216=24.$$ 各値は1から10までなので、例えば最初の27個をすべて8、最後の3個も$(8,8,8)$とすれば条件を満たし、和は24となる。よって最小値は24。 次に、最後の3個が条件を満たすための必要十分条件は $$x_{28}+x_{29}+x_{30}\ge24$$ である。十分性は最初の27個をすべて8とすれば確かめられる。そこで $$y_1=10-x_{28},\quad y_2=10-x_{29},\quad y_3=10-x_{30}$$ とおくと、$0\le y_i\le9$であり、条件は$y_1+y_2+y_3\le6$となる。この範囲では各$y_i\le6$なので上限9は自動的に満たされる。非負整数解の個数は、余り$s=6-y_1-y_2-y_3\ge0$を加えた $$y_1+y_2+y_3+s=6$$ の解の個数に等しい。仕切りを用いるとその数は $$\displaystyle \binom{6+4-1}{4-1}=\binom93=84.$$ 従って $$\boxed{\text{ソタ}=24,\qquad \text{チツ}=84}.$$ 検算として、三つの$y_i$の合計が0から6なら対応する$x_i$はいずれも4から10に入り、全て許されたデータ値である。また$(8,8,8)$で最小値24が実現する。