1兵庫医科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

兵庫医科大学 2020年度 数学 Q1

(1)(a) 微分

$$\displaystyle y=\sum\limits _{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$$ を項別に微分すると、$n\geq1$ より $$\displaystyle \boxed{y'=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{kx^{k-1}}{k!} =\sum\limits _{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!}}.$$

(1)(b) 定積分

$$\displaystyle S_n(x)=\sum\limits _{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$$ とおく。(a)より $\displaystyle S_n'(x)=\sum\limits _{k=0}^{n-1}x^k/k!$ であり、差は $$\displaystyle S_n(x)-S_n'(x)=\frac{x^n}{n!}.$$ $S_n(x)\geq1$（$0\leq x\leq1$）なので対数を微分してよく、被積分関数は $$\displaystyle \frac{x^n}{S_n(x)} =n!\left(1-\frac{S_n'(x)}{S_n(x)}\right) =n!\left(1-\frac{d}{dx}\log S_n(x)\right).$$ 従って $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^1\frac{x^n}{\displaystyle\sum\limits _{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}}\,dx &=n!\left[x-\log S_n(x)\right]_0^1\\ &=n!\left(1-\log\left(\sum\limits _{k=0}^{n}\frac1{k!}\right)\right), \end{aligned}$$ ここで $S_n(0)=1$。よって $$\displaystyle \boxed{n!\left(1-\log\left(\sum\limits _{k=0}^{n}\frac1{k!}\right)\right)}.$$

(2) すべての $\theta$ で不等式が成り立つ $k$

$t=\cos\theta$ とおくと、$0\leq\theta<2\pi$ における $t$ の値の範囲は $-1\le t\le1$。与えられた左辺は $$f(t)=1-t^2+2kt+k-2=-t^2+2kt+k-1$$ となる。$f$ は二次係数が $-1$ の下向きの放物線である。$-1\le t\le1$ の範囲での最大値を場合分けする。

- $k\leq-1$ のとき、$f'(t)=2(k-t)\leq0$ なので最大は $t=-1$ であり、$f(-1)=-k-2$。従って必要十分条件は $k>-2$、この場合 $-2<k\leq-1$。 - $-1\leq k\leq1$ のとき、頂点 $t=k$ が区間にあり、最大値は $f(k)=k^2+k-1$。これが負となる条件は $$\displaystyle \frac{-1-\sqrt5}{2}<k<\frac{-1+\sqrt5}{2}.$$ このケースとの共通範囲は $\displaystyle -1\leq k<\frac{-1+\sqrt5}{2}$。 - $k\geq1$ のとき、$f'(t)\geq0$ なので最大は $t=1$ であり、$f(1)=3k-2>0$。従って条件を満たす $k$ はない。

以上の範囲を合わせると、求める値は $$\displaystyle \boxed{-2<k<\frac{\sqrt5-1}{2}}.$$ 両端ではそれぞれ $t=-1$ または頂点で等号となるため、もとの厳密不等式を全ての $\theta$ で満たす範囲には含まれない。

(3) 4個の玉を6つの箱に入れる方法

(a) 玉・箱とも区別できる

各玉ごとに入れる箱を6通りから選ぶので $$\boxed{6^4=1296\text{通り}}.$$

(b) 玉・箱とも区別できない

空箱を除いて、4を正整数の和に分ける場合を数える。分け方は $$4,\quad3+1,\quad2+2,\quad2+1+1,\quad1+1+1+1$$ の5通りであり、箱は6個あるのでいずれも可能。従って $$\boxed{5\text{通り}}.$$

(c) 玉は区別でき、箱は区別できない

空でない箱への分け方は、4個の異なる玉の集合を空でない部分集合に分割することに等しい。非空部分集合が1, 2, 3, 4個の場合を数える。

- 1個の部分集合: 1通り。 - 2個の部分集合: サイズが $1+3$ なら単独の玉の選び方が4通り、サイズが $2+2$ なら組分けは3通り。合計7通り。 - 3個の部分集合: 1組だけが2個の玉を含み、残り2個は単独なので、その組の選び方 $\displaystyle \binom42=6$ 通り。 - 4個の部分集合: 全て単独の1通り。

箱は6個なので以上の全ての分割が使え、合計 $$1+7+6+1=\boxed{15\text{通り}}.$$

(d) 玉は区別できず、箱は区別できる

箱1から箱6に入る玉の個数を $x_1,\ldots,x_6$ とすると、$x_i$ は0以上の整数で $$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=4.$$ 4個の星と5本の仕切りを並べる方法に対応するため $$\displaystyle \binom{4+6-1}{6-1}=\binom95=\boxed{126\text{通り}}.$$

(e) (d)で各箱に高々1個

6箱のうち玉を入れる4箱を選べばよいので $$\displaystyle \binom64=\boxed{15\text{通り}}.$$

**使用解法:** 有限和の項別微分と対数微分、区間上の二次関数の最大値の分類、玉・箱の区別に応じた分割・重複組合せ・組合せ。

**issues:** なし。