4滋賀医科大学 2016年 数学 第4問解答・解説

I. 定義域は $x\le1$ または $x\ge4$ である。 $$f'(x)=6(x-a)(x-2a).$$ $a=0$ なら $f(x)=2x^3$ は異なるxに対して同じ値をとらずに増加する。$a<0$ の場合、臨界点 $2a<a<1$ はともに左区間内にあり、増減が変わるため異なるxで同じ値をとる。$0<a<1$ なら臨界点 $a$ が左区間内にあり、そこで増加から減少へ変わるので異なるxで同じ値をとる。$a\ge1$ なら左区間で導関数は非負で、関数は異なるxに対して同じ値をとらずに増加する。よって左区間で異なるxに対して同じ値をとらない条件は $a=0$ または $a\ge1$。

右区間では、$a\le2$ なら $x\ge4\ge2a$ なので $f$ は異なるxに対して同じ値をとらずに増加する。$a>2$ なら $2a>4$ は右区間内の極小点となり、異なるxで同じ値をとる。両区間内で異なるxに対して同じ値をとらない条件は $a=0$ または $1\le a\le2$。

$a=0$ のときは $f(4)>f(1)$。$1\le a\le2$ では二つの範囲での値域はそれぞれ $y\le f(1)$ と $y\ge f(4)$ なので、全体で異なるxに対して同じ値をとらない条件は $f(4)>f(1)$ である。 $$f(4)-f(1)=126-135a+36a^2=9(4a-7)(a-2).$$ したがって求める範囲は $a=0$ または $1\le a<7/4$。

II. $x\ge0$ で $$g(x)=b\sqrt{\sqrt{8x+1}-1},\qquad q(x)=e^{-x}\sqrt{\sqrt{8x+1}-1}$$ とおくと、交点条件は $bq(x)=1$。$b\le0$ では交点がない。$b>0,\ x>0$ とし、$t=\sqrt{8x+1}>1$ とおけば $$\displaystyle \frac{d}{dx}\log q(x)=\frac{2}{t(t-1)}-1.$$ よって $q$ は $1<t<2$ で増加し、$t>2$ で減少する。唯一の最大点は $t=2,\ x=3/8$ で、$q(3/8)=e^{-3/8}$。また $q(x)\to0$ は $x\to0+$ および $x\to\infty$ で成り立つ。したがって $bq(x)=1$ がただ1つの解をもつ条件は、最大値でちょうど1となる $b=e^{3/8}$。接点の $x$ 座標は $3/8$。

$0\le x<3/8$ では $bq(x)<1$ なので $e^x>g(x)$。曲線と $y$ 軸で囲まれる面積を $S$ とすると $$\displaystyle S=\int_0^{3/8}\left(e^x-e^{3/8}\sqrt{\sqrt{8x+1}-1}\right)dx.$$ 根号部分で $u=\sqrt{\sqrt{8x+1}-1}$ と置くと、$0\le u\le1,\ x=(u^4+2u^2)/8,\ dx=u(u^2+1)du/2$。よって $$\displaystyle \int_0^{3/8}e^{3/8}\sqrt{\sqrt{8x+1}-1}\,dx =\frac{e^{3/8}}2\int_0^1(u^4+u^2)du=\frac4{15}e^{3/8}.$$ したがって $$\displaystyle S=e^{3/8}-1-\frac4{15}e^{3/8}=\frac{11}{15}e^{3/8}-1.$$

Iではf′の符号から各範囲で異なるxに対して同じ値をとらない条件を出し、端点値から二つの値域が重ならない条件を調べる。IIでは交点をbq(x)=1と表し、qの増減から唯一交点となる接線条件を得る。面積は交点前の大小関係を確認し、根号部分を置換して積分する。