3滋賀医科大学 2016年 数学 第3問解答・解説

$c=\sqrt{a^2+b^2}$ とおく。$a,b>0$ より $c>a$ である。また、$H$ 上で $x>0$ ならば $x\ge a$ であり、 $$\displaystyle y^2=\frac{b^2}{a^2}(x^2-a^2)$$ となる。円 $C$ では $y^2=r^2-(x-s)^2$ だから、共通点の $x$ 座標は $$F(x):=c^2x^2-2a^2sx+a^2(s^2-r^2-b^2)=0$$ を満たす。

(1) $s=c$ のとき、$x_2>x_1\ge a$ に対して $$F(x_2)-F(x_1)=(x_2-x_1)\{c^2(x_1+x_2)-2a^2c\} \ge (x_2-x_1)2ac(c-a)>0.$$ したがって $F(x)=0$ を満たす $x\ge a$ は高々1つである。その $x$ に対して、双曲線上の点は高々2点なので、共有点は高々2点である。

(2) $u=x-a$ とおくと、$x>a$ は $u>0$ に対応し、 $$F(a+u)=c^2u^2+2a(c^2-as)u+a^2\{(s-a)^2-r^2\}.$$ $x>a$ の各解に対して $y$ は正負2つの値をとる。よって共有点が4点あるための必要十分条件は、この二次方程式が異なる2つの正の解 $u_1,u_2$ をもつことである。解と係数の関係から $$\displaystyle u_1+u_2=\frac{2a(as-c^2)}{c^2}>0,\qquad u_1u_2=\frac{a^2\{(s-a)^2-r^2\}}{c^2}>0.$$ 従って $s>c^2/a$ であり、さらに $s-a>0$ なので $r<s-a$ である。異なる2解である条件は判別式 $\Delta>0$ であり、 $$\displaystyle \frac{\Delta}{4}=a^2\bigl\{(as-c^2)^2-c^2((s-a)^2-r^2)\bigr\}>0 \quad\text{すなわち}\quad c^2r^2>b^2(s^2-c^2).$$ ここで $s>c^2/a>c$ より、これは $\displaystyle r>\frac{b}{c}\sqrt{s^2-c^2}$ と同値である。したがって求める範囲は $$\displaystyle s>\frac{c^2}{a},\qquad \frac{b}{c}\sqrt{s^2-c^2}<r<s-a.$$ 実際、上下限の差について $$\displaystyle (s-a)^2-\frac{b^2}{c^2}(s^2-c^2)=\frac{(as-c^2)^2}{c^2}>0$$ だから、この範囲は空でない。

横軸を $r$、縦軸を $s$ として図示するには、同じ領域を $$\displaystyle r>\frac{b^2}{a},\qquad a+r<s<\sqrt{c^2+\frac{c^2r^2}{b^2}}$$ と表せばよい。すなわち、直線 $s=a+r$ と曲線 $s=\sqrt{c^2+c^2r^2/b^2}$ は $(r,s)=(b^2/a,c^2/a)$ で交わり、$r>b^2/a$ で両曲線の間にある領域をとる。4点となるには境界上であってはならないので、境界は含まない。

図は境界の位置関係を示す模式図で、両境界は含まない。塗った領域は交点の右側で上記2曲線に挟まれた部分である。

(3) $x>0$ における接点が2点あるとき、それらは $(x_0,y_0)$、$(x_0,-y_0)$（$y_0>0$）である。接点では円と双曲線の接線が一致するため、両者の $y^2$ の差はその点で値と微分係数がともに0となり、上の二次方程式は正の重解をもつ。よって判別式は0であり、重解は $\displaystyle u_0=\frac{a(as-c^2)}{c^2}>0$ だから $s>c^2/a$ である。判別式を0とすると $$\displaystyle r^2=\frac{b^2}{c^2}(s^2-c^2).$$ この関係で $r\to\infty$ ならば $s\to\infty$ である。したがって $$\displaystyle \lim\limits _{r\to\infty}\frac{s}{r} =\lim\limits _{s\to\infty}\frac{c}{b}\frac{s}{\sqrt{s^2-c^2}} =\frac{c}{b} =\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}.$$