2滋賀医科大学 2016年 数学 第2問解答・解説

分母が奇数、分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と呼ぶことにする。例えば $\displaystyle -\dfrac{1}{3}$、$2$ はそれぞれ $\displaystyle \dfrac{-1}{3}$、$\displaystyle \dfrac{2}{1}$ と表せるから、ともに控えめな有理数である。1個以上の有限個の控えめな有理数 $a_1,\ldots,a_n$ に対して、集合 $S\langle a_1,\ldots,a_n\rangle$ を $$S\langle a_1,\ldots,a_n\rangle = \left\{x_1a_1+\cdots+x_na_n\mid x_1,\ldots,x_n\text{は控えめな有理数}\right\}$$ と定める。例えば $1$ は $\displaystyle 1\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{2}{3}\cdot2$ と表せるから、$\displaystyle S\langle-\dfrac{1}{3},2\rangle$ の要素である。

(1) 控えめな有理数 $a_1,\ldots,a_n$ が定める集合 $S\langle a_1,\ldots,a_n\rangle$ の要素は控えめな有理数であることを示せ。

(2) 0でない控えめな有理数 $a$ が与えられたとき、$S\langle a\rangle=S\langle 2^t\rangle$ となる0以上の整数 $t$ が存在することを示せ。

(3) 控えめな有理数 $a_1,\ldots,a_n$ が与えられたとき、$S\langle a_1,\ldots,a_n\rangle=S\langle b\rangle$ となる控えめな有理数 $b$ が存在することを示せ。

(4) 2016が属する集合 $S\langle a_1,\ldots,a_n\rangle$ はいくつあるか。ただし $a_1,\ldots,a_n$ は控えめな有理数であるとし、$a_1,\ldots,a_n$ と $b_1,\ldots,b_m$ が異なっていても、$S\langle a_1,\ldots,a_n\rangle=S\langle b_1,\ldots,b_m\rangle$ であれば、$S\langle a_1,\ldots,a_n\rangle$ と $S\langle b_1,\ldots,b_m\rangle$ は一つの集合として数える。