10千葉大学 2002年 数学 第10問解答・解説

（1）$\log_2 3$ が有理数であると仮定し、$\displaystyle \log_2 3=\frac pq$（$p,q$ は正の整数）とおく。$3>1$ より $p>0$ であり、対数の定義から $$2^{p/q}=3\quad\text{したがって}\quad 2^p=3^q.$$ 左辺は偶数、右辺は奇数であるから矛盾する。従って $\log_2 3$ は無理数である。

（2）そのような $n$ があると仮定する。$n=1$ なら $\log_2 n=0$ は整数なので、$n\ge2$ である。$\displaystyle \log_2 n=\frac pq$ を既約分数（$p,q$ は正の整数）とすると、整数でないので $q\ge2$ である。対数の定義から $$n=2^{p/q}\quad\text{したがって}\quad n^q=2^p.$$ 従って $n$ の素因数は $2$ だけであり、ある正の整数 $r$ を用いて $n=2^r$ と書ける。このとき $2^{rq}=2^p$ だから $p=rq$ となり、$\displaystyle \log_2 n=\frac pq=r$ は整数である。これは仮定に反する。よって条件を満たす正の整数 $n$ は存在しない。