1千葉大学 2002年 数学 第1問解答・解説

(1) $f(x)=x^2-kx+3k$ の判別式は $$\Delta=(-k)^2-4\cdot1\cdot3k=k^2-12k=k(k-12).$$ よって $\Delta>0$ となる $k<0$ または $k>12$ では実数解は2個、$\Delta=0$ となる $k=0,12$ では1個、$\Delta<0$ となる $0<k<12$ では0個である。

(2) 平方完成すると $$\displaystyle f(x)=\left(x-\frac{k}{2}\right)^2+3k-\frac{k^2}{4},$$ したがって頂点の $y$ 座標は $\displaystyle 3k-\frac{k^2}{4}$。これが1以上となる条件は $$\displaystyle 3k-\frac{k^2}{4}\ge1 \quad\text{すなわち}\quad k^2-12k+4\le0.$$ 境界方程式の解は $k=6\pm4\sqrt2$ なので $$6-4\sqrt2\le k\le6+4\sqrt2.$$ $6-4\sqrt2\approx0.343$、$6+4\sqrt2\approx11.657$ より、条件を満たす整数は $1,2,\ldots,11$。最大は $\boxed{11}$ であり、$k=11$ の頂点の $y$ 座標は $11/4\ge1$ である。