2宮崎大学 2014年 数学 第2問解答・解説

$t=\log_a b$ とおくと、$f(x)=4(x+t/2)^2+1-t^2$ である。

(1) 判別式が $16(t^2-1)$ なので、重解の条件は $t=\pm1$。したがって求める図は、第1象限の直線 $b=a$ と双曲線 $b=1/a$ で、共通の点 $(1,1)$ を除いたものとなる。$a=0$ 上の点も含まない。

(2) 区間内の解を $r$ とすると、もう一つの解は解と係数の関係から $1/(4r)>1/2$ となる。よって $f(1/2)<0$ が必要である。逆に $f(0)=1>0$, $f(1/2)<0$ なら、その区間に解があり、二つとも区間内には入れない。したがって必要十分条件は $2+2t<0$、すなわち $t<-1$。対数の底によって不等号の向きに注意すると、求める領域は $$0<a<1,\ b>1/a \qquad\text{または}\qquad a>1,\ 0<b<1/a.$$ 図では、双曲線の左側枝の上方と右側枝の下方を塗る。双曲線、$a=1$、座標軸はいずれも含まない。

(3) 頂点は $X=-t/2,\ Y=1-t^2$。したがって $$Y=1-4X^2,\qquad X>1/2.$$ 逆に任意の $X>1/2$ に対して $a=2, b=2^{-2X}$ と選べるので、この範囲の全点が実現する。図は放物線の $(1/2,0)$ より右の部分で、始点を白丸にする。

検算：$t=-1$ では $f(x)=(2x-1)^2$ となり区間内部に解はないため境界を除く。$t=-2$ では二解 $1\pm\sqrt3/2$ のうち小さい方だけが区間内に入り、頂点も $(1,-3)$ と一致する。

図示：figures.svg を参照。破線・白丸および座標軸上の境界は含まない。