6愛媛大学 2014年 数学 第6問解答・解説

(1) α,β≧1 から α−1,β−1≧0 なので (α−1)(β−1)≧0。展開して αβ−α−β+1≧0。(2) 解と係数の関係から $p+q=m$、pq=k。p,mが整数なので q=m−p は整数で、k=pq も整数。(3) 整数解pを仮定すると(2)から他方の解qも整数。$pq=n>0$、$p+q=n^2>0$ から p,q はともに正。すると(1)を α=p,β=q として $n=pq\ge p+q-1=n^2-1$。n≧2なら n²−n−1>0 となり矛盾。n=1では和1・積1を満たす整数p,qは存在しない。(4) 整数解pがあると(2)からqも整数。n=2は和0、積2で実数整数解を持たない。n≠2では和(n−2)²>0、積n>0だからp,qは正。再び(1)より n=pq≧p+q−1=(n−2)²−1。整理すると $n^2-5n+3\le0$。二次式の根は (5±√13)/2 で、正の整数nの候補は1,2,3,4。2は既述のとおり不可能。n=1,3では判別式D=(n−2)^4−4n がそれぞれ −3,−11 と負。n=4では $x^2-4x+4=(x-2)^2$ となる。従って答えは $n=4$、解 $x=2$。