愛媛大学／2014年度／前期

愛媛大学 2014年数学第9問解答・解説

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1問題

愛媛大学2014年度第9問

大問9（医学部）

$n$ は自然数、 $p_{0},p_{1},\ldots,p_{n}$ は $p_{0}>0,\ p_{1}>0,\ \ldots,\ p_{n}>0$ かつ $p_{0}+p_{1}+\cdots+p_{n}=1$ を満たす定数とする。ポイント $0,1,2,\ldots,n-1,n$ が、それぞれ $p_{0},p_{1},p_{2},\ldots,p_{n-1},p_{n}$ の確率で得られる試行 $T$ を考える。試行 $T$ を1回行って得られるポイントの期待値を $a$ とし、 $A=\left[a\right]+1$ とする。ただし、実数 $x$ に対して $\left[x\right]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。

競技者は、試行 $T$ を下記の各設問のルールに従って何回か行う。

(1) $k$ を $1\leq k\leq n$ を満たす整数とする。競技者は、試行 $T$ を以下のルールに従って最大2回まで行う。

① 試行 $T$ を1回行い、もしポイントが $k$ 以上であれば2回目の試行を行わず、このポイントを賞金とする。

② 1回目のポイントが $k$ 未満であれば2回目の試行 $T$ を行う。このとき、1回目のポイントは無効とし、2回目のポイントを賞金とする。

このとき賞金の期待値を $b_{k}$ とする。 $b_{k}$ を求めよ。

(2) (1)の期待値 $b_{k}$ は $k$ が $A$ のとき最大となることを示せ。

(3) $m$ を $1\leq m\leq n$ を満たす整数とする。競技者は、試行 $T$ を以下のルールに従って最大3回まで行う。

① 試行 $T$ を1回行い、もしポイントが $m$ 以上であれば2回目以降の試行を行わず、このポイントを賞金とする。

② 1回目のポイントが $m$ 未満であれば2回目の試行 $T$ を行う。2回目のポイントが $A$ 以上であれば3回目の試行を行わない。このとき、1回目のポイントは無効とし、2回目のポイントを賞金とする。

③ 2回目のポイントが $A$ 未満であれば3回目の試行 $T$ を行う。このとき、1回目、2回目のポイントは無効とし、3回目のポイントを賞金とする。

このとき賞金の期待値を $c_{m}$ とする。 $c_{m}$ を求めよ。

(4) (3)の期待値 $c_{m}$ は $m$ が $B=\left[b_{A}\right]+1$ のとき最大となり、 $c_{B}\geq b_{A}$ であることを示せ。ただし、 $b_{A}$ は(1)で求めた期待値 $b_{k}$ の $k=A$ のときの値である。

(5) $n=5$ とし、試行 $T$ として、5枚の硬貨を同時に投げ、表の出た枚数をポイントとする試行を考える。また、 $b_{k},\ c_{m}$ は上記で定義したものとする。

(i) $p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5},a$ を求めよ。

(ii) (1)のように最大2回試行を行う場合、 $b_{k}$ の最大値を求めよ。

(iii) (3)のように最大3回試行を行う場合、 $c_{m}$ の最大値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

賞金の条件を最初のポイントがしきい値以上か未満かに分け、全期待値公式で一般式を出す。しきい値を1つ変えたときの差を計算して最大位置を証明し、最後に二項分布を代入する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \begin{aligned} (1)\quad b_k&=\sum\limits _{j=k}^{n}jp_j+a\sum\limits _{j=0}^{k-1}p_j =a+\sum\limits _{j=k}^{n}(j-a)p_j.\\ (2)\quad b_{k+1}-b_k&=(a-k)p_k \quad\Longrightarrow\quad b_k\text{ は }k=A=\lfloor a\rfloor+1\text{ で最大}.\\ (3)\quad c_m&=\sum\limits _{j=m}^{n}jp_j+b_A\sum\limits _{j=0}^{m-1}p_j =b_A+\sum\limits _{j=m}^{n}(j-b_A)p_j.\\ (4)\quad c_{m+1}-c_m&=(b_A-m)p_m \quad\Longrightarrow\quad c_m\text{ は }m=B=\lfloor b_A\rfloor+1\text{ で最大},\quad c_B>b_A.\\ (5)(i)\quad &(p_0,p_1,p_2,p_3,p_4,p_5)=\frac1{32}(1,5,10,10,5,1),\quad a=\frac52.\\ (ii)\quad &A=3,\quad \max b_k=b_3=\frac{95}{32}.\\ (iii)\quad &b_A=\frac{95}{32},\quad B=3,\quad \max c_m=c_3=\frac{205}{64}. \end{aligned}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

共通の選択指示は、教育学部・農学部・工学部環境建設工学科社会デザインコースでは大問1〜4、理学部および同コースを除く工学部では大問4〜8、医学部では大問4・6・7・8・9を解答する、というものである。本問は大問9であり、医学部の選択対象である。

試行1回で得るポイントを確率変数 $X$ とすると、 $P(X=j)=p_j$ （ $j=0,1,\ldots,n$ ）、 $E[X]=a$ である。また $p_0>0,p_n>0$ より $0<a<n$ だから、 $A=\lfloor a\rfloor+1$ は $1\leq A\leq n$ を満たす。

(1) 最初のポイントが $k$ 以上ならそのポイントを賞金とし、 $k$ 未満なら2回目のポイントを賞金とする。よって $\displaystyle b_k=\sum\limits _{j=k}^{n}jp_j+\left(\sum\limits _{j=0}^{k-1}p_j\right)a = a+\sum\limits _{j=k}^{n}(j-a)p_j.$

(2) $1\leq k<n$ に対して $b_{k+1}-b_k=-(k-a)p_k=(a-k)p_k.$ $p_k>0$ である。 $k<A$ なら $k\leq\lfloor a\rfloor\leq a$ なので差は非負であり、 $k\geq A$ なら $k>a$ なので差は負である。したがって $b_k$ は $k=A$ で最大となる。 $a$ が整数の場合は $k=a$ で差が0となり、隣接する $b_a,b_{a+1}$ が等しいことがあるが、指定された $A=a+1$ も最大値を与える。

(3) 1回目が $m$ 未満のときに続ける2回目・3回目の部分は、最初の試行のしきい値を $A$ とする2回試行の規則であり、その期待値は $b_A$ である。したがって $\displaystyle c_m=\sum\limits _{j=m}^{n}jp_j+\left(\sum\limits _{j=0}^{m-1}p_j\right)b_A =b_A+\sum\limits _{j=m}^{n}(j-b_A)p_j.$

(4) まず $b_A>0$ である。最初の試行で $n$ が出る確率は $p_n>0$ であり、 $A\leq n$ なので賞金 $n$ を得る。また $b_A<n$ である。最初と2回目がともに0となる確率は $p_0^2>0$ で、その場合の賞金は0であり、賞金は常に $n$ 以下だからである。よって $B=\lfloor b_A\rfloor+1$ は $1\leq B\leq n$ を満たす。 $c_{m+1}-c_m=-(m-b_A)p_m=(b_A-m)p_m.$ $m<B$ なら $m\leq\lfloor b_A\rfloor\leq b_A$ なので差は非負であり、 $m\geq B$ なら $m>b_A$ なので差は負である。よって $c_m$ は $m=B$ で最大となる。さらに $\displaystyle c_B=b_A+\sum\limits _{j=B}^{n}(j-b_A)p_j>b_A$ である。実際、 $j\geq B>b_A$ で各項は正、かつ $B\leq n$ 、 $p_B>0$ である。従って特に $c_B\geq b_A$ 。

(5)(i) 5枚の公平な硬貨を同時に投げるので、表の枚数 $j$ の確率は $\displaystyle p_j=\binom{5}{j}/2^5$ である。従って $\displaystyle (p_0,p_1,p_2,p_3,p_4,p_5)=\frac1{32}(1,5,10,10,5,1), \qquad a=\sum\limits _{j=0}^{5}jp_j=\frac{5+20+30+20+5}{32}=\frac52.$ よって $A=\lfloor 5/2\rfloor+1=3$ 。

(ii) (1)(2)より最大値は $b_3$ であり、 $\displaystyle b_3=3\cdot\frac{10}{32}+4\cdot\frac5{32}+5\cdot\frac1{32} +\left(\frac1{32}+\frac5{32}+\frac{10}{32}\right)\frac52 =\frac{55}{32}+\frac12\cdot\frac52 =\frac{95}{32}.$

(iii) $b_A=95/32$ より $B=\lfloor95/32\rfloor+1=3$ 。従って最大値は $c_3$ であり、 $\displaystyle c_3=3\cdot\frac{10}{32}+4\cdot\frac5{32}+5\cdot\frac1{32} +\left(\frac1{32}+\frac5{32}+\frac{10}{32}\right)\frac{95}{32} =\frac{55}{32}+\frac12\cdot\frac{95}{32} =\frac{205}{64}.$

この問題で使う考え方

確率の基本法則
期待値
確率変数と確率分布
確率変数の平均・分散・標準偏差
二項分布

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