5鹿児島大学 2007年 数学 第5問解答・解説

5-1

(1) $$(A-B)^2=A^2-AB-BA+B^2.$$ これが $A^2-2AB+B^2$ に等しいことは $AB+BA=2AB$、すなわち $BA=AB$ と同値である。よって必要十分条件は $AB=BA$ である。

(2) $$AX=XA\quad\text{すなわち}\quad (P+E)X=X(P+E)\quad\text{すなわち}\quad PX+X=XP+X\quad\text{すなわち}\quad PX=XP.$$

(3) $X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ とおく。両積を計算すると $$AX=\begin{pmatrix}(p+1)a&(p+1)b\\qa+c&qb+d\end{pmatrix},\quad XA=\begin{pmatrix}(p+1)a+bq&b\\(p+1)c+dq&d\end{pmatrix}.$$ $AX=XA$ ならば、左上成分から $bq=0$ であり、$q\ne0$ より $b=0$。左下成分から $q(a-d)=pc$ を得る。そこで $k=c/q$, $l=d-k$ とおくと $$X=\begin{pmatrix}d+pk&0\\kq&d\end{pmatrix}=kA+lE.$$ 逆に $X=kA+lE$ ならば $AX=XA$ は $A(kA+lE)=(kA+lE)A$ から成り立つ。

5-2

(1) 円の式を平方完成すると $(x+3)^2+(y-1)^2=3$ だから、媒介変数 $t$ を用いて $$x=-3+\sqrt3\cos t,\qquad y=1+\sqrt3\sin t\quad(0\le t<2\pi)$$ と表せる。

(2) 極方程式は $r(\sqrt2-\sin\theta)=1$、すなわち $\sqrt2r-y=1$ である。ここで $r>0$ かつ $\sqrt2-\sin\theta>0$ なので、$\sqrt2r=1+y$ の両辺を平方して $$2(x^2+y^2)=(1+y)^2\quad\text{すなわち}\quad 2x^2+(y-1)^2=2$$ を得る。この楕円の $y$ の範囲は $1-\sqrt2\le y\le1+\sqrt2$ で、全点が $y>-1$ を満たす。したがって平方で余分な点は加わらず、$C_2$ は中心 $(0,1)$、横半径 $1$、縦半径 $\sqrt2$ の楕円である。概形は $x$ 軸に平行な半径が短い向き、$y$ 軸に平行な向きが長い向きとなる。

(3) 中心 $(-3,1)$ を通る直線を $y-1=m(x+3)$ とおく。楕円の式へ代入すると $$(2+m^2)x^2+6m^2x+9m^2-2=0.$$ 接する条件はこの二次方程式の判別式が $0$ となることだから $$(6m^2)^2-4(2+m^2)(9m^2-2)=16(1-4m^2)=0,$$ よって $\displaystyle m=\pm\frac12$。求める直線は $$\displaystyle y-1=\frac12(x+3),\qquad y-1=-\frac12(x+3),$$ すなわち $\displaystyle y=\frac12x+\frac52$、$\displaystyle y=-\frac12x-\frac12$ である。

5-3

(1) 初戦の確率の比が $2:1$ で和が $1$ だから、$\displaystyle P_A=\frac23$, $\displaystyle P_B=\frac13$。

(2) 前日に A が勝った場合は今日の A・B の勝つ確率の比が $2:1$ なので $\displaystyle P_{AA}=\frac23$。前日に B が勝った場合はその比が $1:3$ なので $\displaystyle P_{BB}=\frac34$。

(3) 4回以内に優勝が決まるのは、結果が $AAA$, $BBB$, $ABBB$, $BAAA$ の場合である。それぞれの確率は $$\displaystyle P(AAA)=\frac23\cdot\frac23\cdot\frac23=\frac8{27},\quad P(BBB)=\frac13\cdot\frac34\cdot\frac34=\frac3{16},$$ $$\displaystyle P(ABBB)=\frac23\cdot\frac13\cdot\frac34\cdot\frac34=\frac18,\quad P(BAAA)=\frac13\cdot\frac14\cdot\frac23\cdot\frac23=\frac1{27}.$$ したがって求める確率は $\displaystyle \frac8{27}+\frac3{16}+\frac18+\frac1{27}=\frac{31}{48}$。

5-3 (4)　 $A$ が勝つ確率と $B$ が勝つ確率の比から， 初戦は $P(A)=2/3,\ P(B)=1/3$ である。 前日が $A$ の勝ちなら翌日の勝率は $P(A\mid A)=2/3,\ P(B\mid A)=1/3$， 前日が $B$ の勝ちなら $P(A\mid B)=1/4,\ P(B\mid B)=3/4$ となる。

5回目に初めて3連勝で優勝する場合， 第3～5戦の勝者は同じであり，第2戦の勝者はそれと異なる。 もし第2戦も同じなら第2～4戦ですでに優勝が決まるからである。 第1戦の勝者はどちらでもよい。したがって該当する勝敗列は $ABAAA,\ BBAAA,\ AABBB,\ BABBB$ の4通りだけである。 各列の確率は順に $$\displaystyle \begin{aligned} P(ABAAA) &=\frac23\cdot\frac13\cdot\frac14 \cdot\frac23\cdot\frac23=\frac{2}{81},\\ P(BBAAA) &=\frac13\cdot\frac34\cdot\frac14 \cdot\frac23\cdot\frac23=\frac1{36},\\ P(AABBB) &=\frac23\cdot\frac23\cdot\frac13 \cdot\frac34\cdot\frac34=\frac1{12},\\ P(BABBB) &=\frac13\cdot\frac14\cdot\frac13 \cdot\frac34\cdot\frac34=\frac1{64}. \end{aligned}$$ 前の2列が $A$ の優勝，後の2列が $B$ の優勝である。 よって「5回目に優勝が決まった」という条件の下で $A$ が優勝している確率は $$\displaystyle \boxed{ \frac{\frac{2}{81}+\frac1{36}} {\frac{2}{81}+\frac1{36}+\frac1{12}+\frac1{64}} =\frac{\frac{17}{324}}{\frac{785}{5184}} =\frac{272}{785}}.$$

5-4

(1) 標準化では平均を引き、標準偏差で割るので $a=m$, $b=\sigma$。二項分布 $B(n,p)$ の平均は $np$、分散は $np(1-p)$ だから、$c=np$, $d=\sqrt{np(1-p)}$。

(2) (a) 確率密度の積分が $1$ となる条件から $$\displaystyle 1=\int_0^2(k-|x-1|)\,dx=2k-1,$$ ゆえに $k=1$。

(b) $f(x)=1-|x-1|$ は $x=1$ に関して対称なので $E(X)=1$。したがって $$\displaystyle \operatorname{Var}(X)=E((X-1)^2)=2\int_0^1u^2(1-u)\,du=\frac16,$$ 標準偏差は $\displaystyle \frac1{\sqrt6}$。

(3) 重さを $X$ g とすると $X\sim N(1000,50^2)$。902g に対応する標準化値は $$\displaystyle \frac{902-1000}{50}=-1.96.$$ 標準正規分布の対称性より $P(X\le902)=P(Z\ge1.96)=0.025$。よって1000個のうち902g以下の個数は $1000\cdot0.025=25$ 個と推測される。