5九州大学 2010年 数学 第5問解答・解説

点 $P(x,y)$ が放物線 $y=x^{2}$ 全体を動くとき，$P=(x,x^{2})$（$x$ は実数）とパラメータ表示できる。このとき $$X=ax+bx^{2},\qquad Y=cx+dx^{2}\qquad (x\text{ は実数})$$ である。以下，この $X(x),Y(x)$ を用いて各小問を考える。

(1)　 $Q$ が放物線 $9X=2Y^{2}$ 全体の上を動く，すなわち $$9X(x)=2Y(x)^{2}\quad(\text{すべての実数 }x\text{ について})\tag{i}$$ が成り立ち，かつ $x$ が 実数全体を動くとき $(X(x),Y(x))$ が曲線 $9X=2Y^{2}$ 全体を尽くす，という2条件を満たす $a,b,c,d$ を求める。

曲線 $9X=2Y^{2}$ は $\displaystyle X=\dfrac{2}{9}Y^{2}$ と表され，$Y$ を $-\infty$ から $\infty$ まで動かせば曲線全体を尽くす（$Y$ の値ごとに $X$ が一意に定まる）。したがって，$Q$ が曲線全体を尽くすためには，実数 $x$ に対し $Y(x)=cx+dx^{2}$ が 実数全体の値をとる必要がある。

$Y(x)=dx^{2}+cx$ は，$d\neq0$ ならば上に有界（$d<0$）または下に有界（$d>0$）な二次関数となり，実数全体を値域にできない。また $d=0,\,c=0$ なら $Y\equiv0$ で値域は $\{0\}$ のみ。よって $$d=0,\qquad c\neq0$$ が必要であり，このとき $Y=cx$ は異なる実数 $x$ に対して異なる値をとり、$x$ が実数全体を動くと $Y$ も実数全体を動く。

このもとで (i) は $$9(ax+bx^{2})=2(cx)^{2}=2c^{2}x^{2}\qquad(\text{すべての実数 }x\text{ について})$$ となる。両辺を $x$ の多項式として係数比較すると $$\displaystyle x\ \text{の係数}:\ 9a=0\quad\text{より}\quad a=0,\qquad x^{2}\ \text{の係数}:\ 9b=2c^{2}\quad\text{より}\quad b=\frac{2c^{2}}{9}.$$ 逆に $\displaystyle a=0,\,d=0,\,b=\dfrac{2c^{2}}{9}$（$c\neq0$）とすると，$\displaystyle X=\dfrac{2c^{2}}{9}x^{2},\,Y=cx$ であり，任意の実数 $Y_{0}$ に対して $x=Y_{0}/c$ ととれば $\displaystyle X=\dfrac{2c^{2}}{9}\cdot\dfrac{Y_{0}^{2}}{c^{2}}=\dfrac{2}{9}Y_{0}^{2}$ となり，$9X=2Y^{2}$ を満たしながら曲線全体をちょうど1回ずつ尽くす。ゆえに条件を満たす。

以上より $$\displaystyle A=\begin{pmatrix}0 & \dfrac{2c^{2}}{9}\\ c & 0\end{pmatrix}\qquad(c\ \text{は}\ 0\ \text{でない任意の実数})$$

(2)　 条件は「$P$ が $y=x^{2}$ 全体を動くとき，常に $X(x)^{2}+(Y(x)-1)^{2}=1$」，すなわち $$(ax+bx^{2})^{2}+(cx+dx^{2}-1)^{2}=1\qquad(\text{すべての実数 }x\text{ について}).\tag{ii}$$

円 $X^{2}+(Y-1)^{2}=1$ は有界な図形（中心 $(0,1)$，半径1の円）である。もし $a,b,c,d$ のうち $b\neq0$ または $d\neq0$ があれば，$X(x)$ または $Y(x)$ は $x$ の二次式で最高次係数が非零となり，$x\to\infty$ で $|X(x)|\to\infty$ または $|Y(x)|\to\infty$ となる。これは $Q=(X,Y)$ が半径1の円上（したがって有界）に留まることに矛盾する。よって $$b=0,\qquad d=0$$ が必要である。

このとき $X=ax,\ Y=cx$ で，もし $a\neq0$ または $c\neq0$ ならば，やはり $x\to\infty$ のとき $X$ または $Y$ が非有界となり矛盾。よって $$a=0,\qquad c=0$$ も必要である。したがって $a=b=c=d=0$ が必要条件である。

逆に $a=b=c=d=0$ のとき，任意の $x$ に対し $X=0,\,Y=0$ で，$X^{2}+(Y-1)^{2}=0+(-1)^{2}=1$ となり (ii) を満たす（$Q$ は常に定点 $(0,0)$ にあり，この点は円 $X^{2}+(Y-1)^{2}=1$ 上にある）。

以上より，条件を満たすのは $$A=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$$ のみである（別解として係数比較：$X^{2}+(Y-1)^{2}$ を $x$ の多項式として展開すると $x^{4}$ の係数が $b^{2}+d^{2}$ となり，これが $0$ であるためには実数の性質から $b=d=0$。続いて $x^{2}$ の係数 $a^{2}+c^{2}-2d=a^{2}+c^{2}=0$ より $a=c=0$。$x^{1}$ の係数 $-2c=0$ と整合。同じ結論を得る）。

(3)　 $Q$ がある直線 $L$ 全体の上を動く条件を考える。$X(x)=ax+bx^{2},\,Y(x)=cx+dx^{2}$ である。

まず，$(X(x),Y(x))$ が（一部にせよ）1本の直線上に載るための条件を調べる。$(\alpha,\beta)\neq(0,0)$ を用いて $\alpha X(x)+\beta Y(x)=\gamma$（定数）が全ての $x$ で成り立つとすると，$X,Y$ には定数項がないので $\gamma=0$ であり， $$\alpha(ax+bx^{2})+\beta(cx+dx^{2})=0\qquad(\text{すべての }x\text{ について})$$ から $$\alpha a+\beta c=0,\qquad \alpha b+\beta d=0.$$ これは $(\alpha,\beta)\neq(0,0)$ に解をもつので，ベクトル $(a,c)$ と $(b,d)$ は 1次従属である。

次に，直線「全体」を尽くすかどうかを調べる。

(i) $(b,d)\neq(0,0)$ の場合：従属性より $(a,c)=k(b,d)$ となる実数 $k$ が存在し， $$X=b(x^{2}+kx),\qquad Y=d(x^{2}+kx).$$ $\displaystyle t=x^{2}+kx=\left(x+\dfrac{k}{2}\right)^{2}-\dfrac{k^{2}}{4}$ は $x$ が実数のとき $\displaystyle t\ge -\dfrac{k^{2}}{4}$ の範囲しかとらない（下に有界な二次関数）。よって $(X,Y)=t\,(b,d)$ は，直線の一部（半直線）しか尽くさず，直線全体には届かない。ゆえにこの場合は条件を満たさない。

(ii) $(b,d)=(0,0)$ の場合：$X=ax,\,Y=cx$ で $t=x$ は $x$ が実数全体を動くとき 実数全体を動く。$(a,c)\neq(0,0)$ であれば，$(X,Y)=x\,(a,c)$ は原点を通り方向ベクトル $(a,c)$ をもつ直線全体を（$x$ が 実数全体を動くのに応じて）ちょうど尽くす。$(a,c)=(0,0)$ なら $Q$ は原点に固定される1点のみで直線にならない。

以上から，$Q$ がある直線 $L$ 全体の上を動くための条件は $$b=0,\quad d=0,\quad (a,c)\neq(0,0)$$ （$a,c$ の少なくとも一方が $0$ でない）である。

この条件のもとでは $X=ax,\,Y=cx$ であるから，$cX-aY=c(ax)-a(cx)=0$ が全ての $x$ で成り立ち，逆に $cX-aY=0$ は原点を通り方向ベクトル $(a,c)$ の直線（$(a,c)\neq(0,0)$ ゆえ確定する1本の直線）を表す。したがって直線 $L$ の方程式は $$L:\ cX-aY=0$$ である（$a\neq0$ のときは $\displaystyle Y=\dfrac{c}{a}X$，$a=0$（このとき $c\neq0$）のときは $X=0$ と同値）。