九州大学 2010年数学第3問解答・解説

1問題

九州大学2010年度第3問

$xy$ 平面上に曲線 $\displaystyle y=\frac{1}{x^2}$ を描き，この曲線の第1象限内の部分を $C_1$ ，第2象限内の部分を $C_2$ と呼ぶ。 $C_1$ 上の点 $\displaystyle P_1\left(a,\frac{1}{a^2}\right)$ から $C_2$ に向けて接線を引き， $C_2$ との接点を $Q_1$ とする。次に点 $Q_1$ から $C_1$ に向けて接線を引き， $C_1$ との接点を $P_2$ とする。次に点 $P_2$ から $C_2$ に向けて接線を引き，接点を $Q_2$ とする。以下同様に続けて， $C_1$ 上の点列 $P_n$ と $C_2$ 上の点列 $Q_n$ を定める。このとき，次の問いに答えよ。

(1) 点 $Q_1$ の座標を求めよ。

(2) 三角形 $P_1Q_1P_2$ の面積 $S_1$ を求めよ。

(3) 三角形 $P_nQ_nP_{n+1}\ (n=1,2,3,\ldots)$ の面積 $S_n$ を求めよ。

(4) 級数 $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^{\infty}S_n$ の和を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$Q_1=(-2a,1/(4a^2))$
(2)
$S_1=81/(32a)$
(3)
$\displaystyle S_n=\frac{81}{32a\,4^{n-1}}$
(4)
$sum S_n=27/(8a)$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

曲線上の点 $(t,1/t^2)$ における接線は $\displaystyle y=-\frac{2}{t^3}x+\frac{3}{t^2}.$ この接線と曲線の交点の $x$ 座標を $s$ とすると $\displaystyle \frac1{s^2}=-\frac{2s}{t^3}+\frac3{t^2} \quad\text{すなわち}\quad (s-t)^2(2s+t)=0.$ 接点以外の交点は $s=-t/2$ である。 $P_n=(a_n,1/a_n^2)$ とおくと、 $P_n$ から第2象限側への接線の接点は $\displaystyle Q_n=\left(-2a_n,\frac1{4a_n^2}\right).$ 次に $Q_n$ から第1象限側への接線の接点を $P_{n+1}$ とすれば、 $a_{n+1}=4a_n$ 。よって $a_n=a\,4^{n-1}$ である。従って $\displaystyle Q_1=\left(-2a,\frac1{4a^2}\right),\quad P_n=\left(a_n,\frac1{a_n^2}\right),\quad P_{n+1}=\left(4a_n,\frac1{16a_n^2}\right).$ 三点の座標から $\displaystyle S_n=\frac12\left| (-3a_n)\left(-\frac{15}{16a_n^2}\right) -\left(-\frac3{4a_n^2}\right)(3a_n) \right| =\frac{81}{32a_n} =\frac{81}{32a\,4^{n-1}}.$ 特に $S_1=81/(32a)$ 。等比級数を用いて $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}S_n =\frac{81}{32a}\frac1{1-\frac14} =\frac{27}{8a}.$

この問題で使う考え方

接線と曲線の交点を因数分解
座標による三角形面積
等比級数

1問題

2答え

3解答

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