6広島大学 2001年 数学 第6問解答・解説

以下では、対戦相手の組に応じた勝率を過去の結果の下での条件付き確率とする通常のモデルで考える。第1回戦の勝者を $X$、敗者を $Y$ とする。$X=A$ と $X=B$ は対称である。

(1) 第2回戦で優勝が決まらないためには $C$ が勝ち、第3回戦で決まらないためには $Y$ が勝つ。第4回戦で $Y$ が続けて勝つと優勝が決まる。従って勝者列は $$X=A:\ \mathrm{ACBB},\qquad X=B:\ \mathrm{BCAA}.$$

(2) 第2回戦で $X$ が勝つ確率は $1-p$、第2・3回戦で $C$ が続けて勝つ確率は $p^2$。第4回戦で決着するには、第2回戦で $C$、第3回戦で $Y$、第4回戦で $Y$ が勝つので $$\displaystyle F_2=1-p,\qquad F_3=p^2,\qquad F_4=p(1-p)\cdot\frac12=\frac{p(1-p)}2.$$

(3) 優勝が決まらないまま第2・3・4回戦を通過する確率は $$\displaystyle q=p(1-p)\cdot\frac12=\frac{p(1-p)}2.$$ この3回の後は第1回戦の勝者 $X$ に戻り、同じ3対戦の順序が繰り返される。第$3n$回で決着するには、先に $n-1$ 周期を未決着で通過し、その次の第1・第2試合で $C$ が続けて勝つ。よって $$\displaystyle F_{3n}=q^{n-1}p^2=p^2\left(\frac{p(1-p)}2\right)^{n-1}\qquad(n\ge2).$$ これは $n=1$ の $F_3=p^2$ にも一致する。

(4) $0<p<1$ より $0<q=p(1-p)/2\le1/8<1$。従って $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}F_{3n}=p^2\sum\limits _{n=1}^{\infty}q^{n-1}=\frac{p^2}{1-q}=\frac{2p^2}{p^2-p+2}.$$