4新潟大学 2003年 数学 第4問解答・解説

(1) $e^{-x/2}>0$ なので、$f(x)=0$ は $\cos x+\sin x=0$ と同値である。$\displaystyle \cos x+\sin x=\sqrt2\sin(x+\frac\pi4)$ より、正の解は $\displaystyle x=k\pi-\frac\pi4\ (k=1,2,\ldots)$ である。したがって $$\displaystyle a_n=(n-\tfrac14)\pi.$$

(2) $a_{n+1}=a_n+\pi$ であり、円板法から $$\displaystyle V_n=\pi\int_{a_n}^{a_{n+1}}f(x)^2\,dx =\pi\int_{a_n}^{a_{n+1}}e^{-x}(1+\sin2x)\,dx.$$ $\displaystyle I=\int e^{-x}\sin2x\,dx,\ J=\int e^{-x}\cos2x\,dx$ とおく。部分積分により $$I=-e^{-x}\sin2x+2J,\qquad J=-e^{-x}\cos2x-2I,$$ したがって $\displaystyle I=-\frac15e^{-x}(\sin2x+2\cos2x)$ である。ゆえに被積分関数の原始関数は $$\displaystyle F(x)=-e^{-x}\left(1+\frac{\sin2x+2\cos2x}{5}\right).$$ 各 $\displaystyle a_n=(n-\frac14)\pi$ で $\sin2a_n=-1,\ \cos2a_n=0$ だから $\displaystyle F(a_n)=-\frac45e^{-a_n}$。よって $$\displaystyle V_n=\pi\{F(a_{n+1})-F(a_n)\} =\frac{4\pi}{5}(e^{-a_n}-e^{-a_{n+1}}) =\frac{4\pi}{5}(1-e^{-\pi})e^{-(n-\frac14)\pi}.$$

(3) 有限和は望遠和となり、$a_{N+1}\to\infty$ より $e^{-a_{N+1}}\to0$ である。したがって $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}V_n =\lim\limits _{N\to\infty}\frac{4\pi}{5}(e^{-a_1}-e^{-a_{N+1}}) =\frac{4\pi}{5}e^{-3\pi/4}.$$