1福島県立医科大学 2015年 数学 第1問解答・解説

(1) 2つの円の共通部分 $B=(0,0)$, $A=(2,0)$ とし、$\angle ABC=60^\circ$ だから $C=(1,\sqrt3)$, $D=(3,\sqrt3)$ と置ける。$\triangle ABC$ は一辺2の正三角形なので、その外心を $O_1$ とすると $$\displaystyle O_1=\left(1,\frac{\sqrt3}{3}\right),\qquad r_1=\frac2{\sqrt3}.$$ $\triangle BCD$ の外心は $O_2=(2,0)$（$O_2B=O_2C=O_2D=2$）で、半径 $r_2=2$。また $O_1O_2=2/\sqrt3$。

共通弦を $PQ$、その中点を $H$ とする。$H$ は $O_1O_2$ 上にあり、直角三角形の差をとると、$O_1$ から $O_2$ 方向への符号付き距離は $$\displaystyle O_1H=\frac{O_1O_2^2+r_1^2-r_2^2}{2O_1O_2}=-\frac1{\sqrt3}.$$ 従って $H$ は $O_1$ の反対側にあり、$O_2H=\sqrt3$。半弦の長さは $HP=HQ=1$。小円側では $\cos\angle PO_1H=1/2$ なので共通部分に入るのは中心角 $4\pi/3$ の大きい扇形側、大円側では $\cos\angle PO_2H=\sqrt3/2$ なので中心角 $\pi/3$ の小さい扇形側である。従って共通部分の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\left(\frac12r_1^2\cdot\frac{4\pi}{3}+\frac12\cdot2\cdot\frac1{\sqrt3}\right) +\left(\frac12r_2^2\cdot\frac{\pi}{3}-\frac12\cdot2\cdot\sqrt3\right)\\ &=\boxed{\frac{14\pi}{9}-\frac2{\sqrt3}}. \end{aligned}$$ （第1括弧は小円の大きい弓形、第2括弧は大円の小さい弓形。）

(2) 3次方程式の根 根と係数の関係から $$\alpha+\beta+\gamma=2(\alpha+\beta),\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2, \qquad \alpha\beta\gamma=8\sqrt3.$$ 最初の式より $\gamma=\alpha+\beta$。これを第2式に代入して整理すると $\alpha\beta=\alpha^2+\beta^2$ となり、従って $$\gamma^2=(\alpha+\beta)^2=3\alpha\beta.$$ 積の式から $\gamma^3=24\sqrt3=(2\sqrt3)^3$。また方程式の係数は実数なので $-2(\alpha+\beta)=-2\gamma$ は実数、従って $\gamma$ は実数であり $\gamma=2\sqrt3$。よって $\alpha+\beta=2\sqrt3$, $\alpha\beta=4$ だから、$\alpha,\beta$ は $$z^2-2\sqrt3z+4=0$$ の根である。判別式は $-4$ なので、順序を除き $$\boxed{\alpha=\sqrt3+i,\qquad\beta=\sqrt3-i,\qquad\gamma=2\sqrt3}.$$

(3) 回転体の体積 $y=(x^2-4)\log x$ の $x$ 軸との交点は $x=1,2$。$x\to0+$ では $y\to+\infty$、$x>2$ でも曲線と軸の間は有界でないので、囲まれる有界領域は $1\le x\le2$ の部分である。回転体の体積は $$\displaystyle V=\pi\int_1^2(x^2-4)^2(\log x)^2\,dx.$$ $m\ge0$ について部分積分で $$\displaystyle \int x^m(\log x)^2\,dx =\frac{x^{m+1}}{m+1}\left((\log x)^2-\frac{2\log x}{m+1}+\frac2{(m+1)^2}\right).$$ これを $x^4-8x^2+16$ に適用し、1から2で評価すると $$\displaystyle \int_1^2(x^2-4)^2(\log x)^2\,dx =\frac{256}{15}(\log2)^2-\frac{11776}{225}\log2+\frac{95674}{3375}.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{V=\pi\left(\frac{256}{15}(\log2)^2-\frac{11776}{225}\log2+\frac{95674}{3375}\right)}.$$

(4)(i) $g$ の増減とグラフ $$\displaystyle g(x)=\frac1{\sin x}+\frac1{\cos x},\qquad g'(x)=\frac{\sin^3x-\cos^3x}{\sin^2x\cos^2x}.$$ 分母は正であり、分子の符号は $\sin x-\cos x$ の符号と同じ。よって $g$ は $0<x<\pi/4$ で減少し、$\pi/4<x<\pi/2$ で増加する。最小値は $$\displaystyle g\left(\frac\pi4\right)=2\sqrt2.$$ また $g(\pi/2-x)=g(x)$ で、両端では $g(x)\to+\infty$。従ってグラフは $x=\pi/4$ に軸をもつU字形で、両端に垂直漸近線、最小点 $(\pi/4,2\sqrt2)$ をもつ。

(4)(ii) $f$ が2つの極値をもつ条件 $$f'(x)=a\sin x\cos x-\sin x-\cos x =\sin x\cos x\{a-g(x)\}.$$ $\sin x\cos x>0$。前問のグラフより、$a>2\sqrt2$ のときに限り $g(x)=a$ は2つの解をもち、$f'$ は負・正・負と符号を変えるので、$f$ は極小値と極大値を1つずつもつ。$a<2\sqrt2$ なら根がなく、$a=2\sqrt2$ では $f'$ は符号を変えない。ゆえに $$\boxed{a>2\sqrt2}.$$

(4)(iii) 2つの極値の和 $a>2\sqrt2$ のとき、$g(x)=a$ の解を $x_1<\pi/4<x_2$ とする。$g(\pi/2-x)=g(x)$ と解の一意性から $x_2=\pi/2-x_1$。$s=\sin x_1$, $c=\cos x_1$ とおくと $$\displaystyle \begin{aligned} f(x_1)+f(x_2) &=\left(\frac a2s^2-s+c\right)+\left(\frac a2c^2-c+s\right)\\ &=\frac a2(s^2+c^2)=\boxed{\frac a2}. \end{aligned}$$

分類 単元: 円と図形、複素数と方程式、対数関数の積分、三角関数の微分と極値。

方法: 円の中心・共通弦による弓形面積、根と係数の関係、回転体体積の定積分、導関数の符号と対称性。

テーマ: 幾何・代数・積分・三角関数の複合的な小問集合。