5大阪大学 2017年 数学 第5問解答・解説

原文・入力

数学の確認

高さ $y=t$ の水平断面で回転体Lは、中心$O=(0,0)$、半径 $r=\sqrt t$ の円板になる。点 $(x,t,z)$ から平面内の直線 $x=1$ までの距離は $\sqrt{(x-1)^2+z^2}$ だから、条件を満たす点は中心$O'=(1,0)$、半径1の円板内にある。Mの断面は二円板の共通部分。

交点Pでできる三角形OO'Pは辺 $OO'=O'P=1$, $OP=r$。中心角を$O\text{で}\alpha$、$O'\text{で}\beta$とすると、余弦定理から $\displaystyle \cos\alpha=\frac r2=\cos\theta$、$\displaystyle \cos\beta=1-\frac{r^2}{2}=-\cos2\theta=\cos(\pi-2\theta)$。角の範囲から $\alpha=\theta$, $\beta=\pi-2\theta$。二つの扇形の和から合同な三角形二つの面積を引いて

$S(t)=r^2\alpha+\beta-r\sin\alpha=4\theta\cos^2\theta+\pi-2\theta-\sin2\theta$。

端点 $t=0$（$\displaystyle \theta=\frac\pi2$）では断面は一点で、式も0となる。

体積は水平断面の積分。$t=4\cos^2\theta$, $dt=-4\sin2\theta\,d\theta$ より

$\displaystyle V=4\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin2\theta\left(4\theta\cos^2\theta+\pi-2\theta-\sin2\theta\right)d\theta$。

積分を3項に分けると、部分積分と $\displaystyle \cos^4\theta=\frac{3+4\cos2\theta+\cos4\theta}{8}$ により

$\displaystyle A=16\int\theta\cos^2\theta\sin2\theta\,d\theta=-8\left[\theta\cos^4\theta\right]_{\pi/4}^{\pi/2}+8\int\cos^4\theta\,d\theta=\frac{5\pi}{4}-2$。

また、部分積分で $\displaystyle B=4\int(\pi-2\theta)\sin2\theta\,d\theta=2$、倍角公式で $\displaystyle C=-4\int\sin^2 2\theta\,d\theta=-\frac\pi2$。従って $\displaystyle V=A+B+C=\frac{3\pi}{4}$。旧答案の断面式・体積値・積分評価に誤りはない。

範囲・表示・ラベル

円の共通部分、余弦定理、扇形と三角形の面積、三角関数、定積分と部分積分を用い、高校数学の範囲である。原文条件、角の範囲、端点、単位の表示を確認した。訂正は不要。

**答**

(1) $S(t)=4\theta\cos^2\theta+\pi-2\theta-\sin2\theta$。

(2) $\displaystyle V=\frac{3\pi}{4}$。