4大阪大学 2017年 数学 第4問解答・解説

$u=f(1)=b+c-1$、$v=f(3)=3b+c-9$ とおくと、$0\le u\le2$、$5\le v\le6$ であり、連立して $b=4+(v-u)/2$ を得る。

(1) $f(4)=-3+(3v-u)/2$ である。この範囲で最小値は $(u,v)=(2,5)$ のときの $7/2$、最大値は $(u,v)=(0,6)$ のときの $6$ である。したがって $$\displaystyle \frac72\le f(4)\le6.$$

(2) 頂点の $y$ 座標は $q=c+b^2/4$ である。$f(x)=-(x-b/2)^2+q$ を用いると、 $$\displaystyle q=f(1)+(1-b/2)^2=u+\frac{(4+v-u)^2}{16}=v+\frac{(u-v+4)^2}{16}.$$ $5\le v\le6$、$0\le u\le2$、$1\le v-4\le2$ より $q\ge v\ge5$ である。また $|u-(v-4)|\le2$ なので $q\le6+4/16=25/4$ である。下限は $(u,v)=(1,5)$、上限は $(u,v)=(0,6)$ で達成される。よって $$\displaystyle 5\le q\le\frac{25}{4}.$$

(3) 頂点の $y$ 座標が6なら $f(x)=6-(x-b/2)^2$ である。面積は平行移動で変わらないので、$t=x-b/2$ とおくと $$\displaystyle S=\int_{-\sqrt6}^{\sqrt6}(6-t^2)\,dt=8\sqrt6.$$